中册 6.1 数项级数的敛散性 第35题
📝 题目
35．设 $\left|\sum_{k=0}^{n} a_{k} \pi^{k}\right| \leqslant 2009, n=1,2, \cdots$ ，证 明：当 $x \in(0, \pi)$ 时，$\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k}$ 收 敛，且 $\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k} \in[-2009,2009]$ ．（哈 工 大 2009）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k}=\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} \pi^{k}\left(\frac{x}{\pi}\right)^{k}$ ．又 $\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} \pi^{k}$ 的部分和有界，$\displaystyle \left\{\left(\frac{x}{\pi}\right)^{k}\right\}$ 单调减少趋于 0 ，由 dirichlet 判别法，$\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k}$ 收玫。由阿贝尔引理，
$$
\left|\sum_{k=0}^{n} a_{k} x^{k}\right|=\left|\sum_{k=0}^{n} a_{k} \pi^{k}\left(\frac{x}{\pi}\right)^{k}\right| \leqslant 2009\left(1+2\left|\left(\frac{x}{\pi}\right)^{n}\right|\right) .
$$
取极限得 $\left|\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k}\right| \leqslant 2009$ ，即 $\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k} \in[-2009,2009]$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将级数变形为Dirichlet判别法的形式
将原级数改写为 $\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k = \sum_{k=0}^{\infty} a_k \pi^k \left(\frac{x}{\pi}\right)^k$。令 $b_k = a_k \pi^k$，$c_k = \left(\frac{x}{\pi}\right)^k$，则级数为 $\sum_{k=0}^{\infty} b_k c_k$。
公式：$\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k = \sum_{k=0}^{\infty} a_k \pi^k \left(\frac{x}{\pi}\right)^k$
提示：注意 $x \in (0, \pi)$，所以 $\frac{x}{\pi} \in (0,1)$，确保 $c_k$ 单调递减趋于0。
步骤 2/5
目标：验证Dirichlet判别法的条件
已知 $\left|\sum_{k=0}^{n} a_k \pi^k\right| \leq 2009$ 对所有 $n$ 成立，即部分和 $S_n = \sum_{k=0}^{n} b_k$ 有界。又因为 $0 < \frac{x}{\pi} < 1$，序列 $\left\{\left(\frac{x}{\pi}\right)^k\right\}$ 单调递减且趋于0。因此满足Dirichlet判别法的条件。
公式：Dirichlet判别法：若 $\sum b_k$ 部分和有界，$\{c_k\}$ 单调趋于0，则 $\sum b_k c_k$ 收敛。
提示：注意 $c_k$ 的单调性：由于 $\frac{x}{\pi} \in (0,1)$，$c_k$ 严格递减。
步骤 3/5
目标：应用Dirichlet判别法证明收敛
由Dirichlet判别法，级数 $\sum_{k=0}^{\infty} b_k c_k = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k$ 收敛。
提示：收敛性证明完毕，接下来需要证明和的范围。
步骤 4/5
目标：应用阿贝尔引理估计部分和
由阿贝尔引理（Abel's lemma），对于 $0 \leq r < 1$，有 $\left|\sum_{k=0}^{n} b_k r^k\right| \leq \max_{0 \leq m \leq n} \left|\sum_{k=0}^{m} b_k\right| \cdot (1 + 2r^n)$。这里 $b_k = a_k \pi^k$，$r = \frac{x}{\pi} \in (0,1)$，且 $\left|\sum_{k=0}^{m} b_k\right| \leq 2009$。因此 $\left|\sum_{k=0}^{n} a_k x^k\right| \leq 2009 \left(1 + 2\left(\frac{x}{\pi}\right)^n\right)$。
公式：阿贝尔引理：$\left|\sum_{k=0}^{n} b_k r^k\right| \leq \max_{0 \leq m \leq n} \left|\sum_{k=0}^{m} b_k\right| \cdot (1 + 2r^n)$
提示：注意阿贝尔引理中 $r$ 在 $[0,1]$ 内，这里 $r = x/\pi$ 满足条件。
步骤 5/5
目标：取极限得到和的范围
对上述不等式取 $n \to \infty$。由于 $\left(\frac{x}{\pi}\right)^n \to 0$，得到 $\left|\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k\right| \leq 2009$。因此 $\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \in [-2009, 2009]$。
提示：极限过程需要说明级数收敛，因此部分和极限存在。
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