中册 6.1 数项级数的敛散性 第36题
📝 题目
36．证明下列结论．
（1）已知 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为发散的一般项级数，试证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) a_{n}$ 也是发散级数．
（2）证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) a_{n}$ 同敛散．
（3）讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} a_{n}$ 的玫散性之间的关系。
（4）若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}$ 收玫，证明 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 也收玫．
（5）设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \sqrt{n}$ 收敛。试就 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数和一般项级数两种情形分别证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \sqrt{n+\sqrt{n}}$ 也收敛。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）用反证法．假设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(\frac{n}{n+1}\right)$ ．由阿贝尔判别法，$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$收玫，矛盾．所以级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) a_{n}$ 发散．
（2）若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，由于数列 $\displaystyle \left\{1+\frac{1}{n}\right\}$ 单调有界，由阿贝尔判别法知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) a_{n}$ 收敛。
若 级 数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) a_{n}$ 必发散．否则由 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(\frac{n}{n+1}\right)$ ．由阿贝尔判别法知 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，矛盾。所以级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) a_{n}$同敛散。
（3）若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，由于数列 $\displaystyle \left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right\}$ 单调有界，由阿贝尔判别法知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} a_{n}$收敛。
若 级 数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发 散，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} a_{n}$ 必发散，否则若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ 收敛，由 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}$ 及阿贝尔判别法知 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫。矛盾。所以级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} a_{n}$ 同玫散．
（4）因为 $\displaystyle a_{n}=\frac{1}{n} \cdot n a_{n}$ ，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}$ 收玫，$\displaystyle \left\{\frac{1}{n}\right\}$ 单调有界，由阿贝尔判别法，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot n a_{n}$收敛。
（5）当 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数时， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n} \sqrt{n}}{a_{n} \sqrt{n+\sqrt{n}}}=1$ ．由比较判别法知 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \sqrt{n+\sqrt{n}}$ 收敛．
当 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为一般项级数时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \sqrt{n+\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \sqrt{n}\right) \sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{n}}}$ ．由阿贝尔判别法知 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \sqrt{n+\sqrt{n}}$ 收敛。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明（1）：若∑(1+1/n)a_n收敛则∑a_n收敛，矛盾
假设∑(1+1/n)a_n收敛。注意到a_n = (1+1/n)a_n * (n/(n+1))。由于{n/(n+1)}单调有界，由阿贝尔判别法，∑a_n收敛，与已知∑a_n发散矛盾。故∑(1+1/n)a_n发散。
公式：a_n = (1+\frac{1}{n})a_n \cdot \frac{n}{n+1}
提示：注意阿贝尔判别法的条件：一个级数收敛，另一个数列单调有界。
步骤 2/6
目标：证明（2）：∑a_n与∑(1+1/n)a_n同敛散
若∑a_n收敛，由于{1+1/n}单调有界，由阿贝尔判别法，∑(1+1/n)a_n收敛。若∑a_n发散，假设∑(1+1/n)a_n收敛，则同（1）可得∑a_n收敛，矛盾。故两者同敛散。
提示：注意正反两个方向的论证，发散情形用反证法。
步骤 3/6
目标：证明（3）：∑a_n与∑(1+1/n)^n a_n同敛散
若∑a_n收敛，由于{(1+1/n)^n}单调有界（收敛于e），由阿贝尔判别法，∑(1+1/n)^n a_n收敛。若∑a_n发散，假设∑(1+1/n)^n a_n收敛，则a_n = (1+1/n)^n a_n * (n/(n+1))^n，而{(n/(n+1))^n}单调有界，由阿贝尔判别法得∑a_n收敛，矛盾。故同敛散。
公式：a_n = (1+\frac{1}{n})^n a_n \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^n
提示：注意{(n/(n+1))^n}单调有界，极限为1/e。
步骤 4/6
目标：证明（4）：若∑n a_n收敛，则∑a_n收敛
将a_n写为a_n = (1/n) * (n a_n)。由于∑n a_n收敛，且{1/n}单调有界，由阿贝尔判别法，∑a_n收敛。
公式：a_n = \frac{1}{n} \cdot n a_n
提示：注意阿贝尔判别法要求其中一个级数收敛，另一个数列单调有界。
步骤 5/6
目标：证明（5）正项级数情形：∑a_n√(n+√n)收敛
由于∑a_n√n收敛且a_n≥0，考虑比值：lim (a_n√(n+√n))/(a_n√n) = lim √(1+1/√n) = 1。由比较判别法的极限形式，∑a_n√(n+√n)收敛。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{a_n\sqrt{n+\sqrt{n}}}{a_n\sqrt{n}} = \lim_{n\to\infty} \sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{n}}} = 1
提示：正项级数才能用比较判别法，注意极限为1时不能直接判断，但此处已知一个收敛，另一个也收敛。
步骤 6/6
目标：证明（5）一般项级数情形：∑a_n√(n+√n)收敛
将级数写为∑a_n√(n+√n) = ∑(a_n√n) * √(1+1/√n)。由于∑a_n√n收敛，且数列{√(1+1/√n)}单调有界（趋于1），由阿贝尔判别法，原级数收敛。
公式：a_n\sqrt{n+\sqrt{n}} = (a_n\sqrt{n}) \cdot \sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}
提示：一般项级数不能直接用比较判别法，需用阿贝尔判别法。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。