中册 6.1 数项级数的敛散性 第37题
📝 题目
37．证明下列结论．
（1）设 $a_{n}>0$ ，证明数列 $\left\{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right) \cdots\left(1+a_{n}\right)\right\}$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 同时收玫或同时发散，并证明：
（1）数列 $\displaystyle \left\{\left(1+\frac{1}{2!}\right)\left(1+\frac{1}{3!}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{n!}\right)\right\}$ 收玫．
（2）数列 $\displaystyle \left\{\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)\right\}$ 收敛．
（2）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 为递减正项数列，证明：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\sum_{m=0}^{\infty} 2^{m} a_{2^{m}}$ 同时收玫或同时发散．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）令 $u_{n}=\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right) \cdots\left(1+a_{n}\right)$ ，则 $\ln u_{n}=\ln \left(1+a_{1}\right)+\ln \left(1+a_{2}\right)+\cdots+\ln \left(1+a_{n}\right)$ ．所以 $\left\{u_{n}\right\}$ 收敛的充要条件为 $\left\{\ln \left(u_{n}\right)\right\}$ 收敛，而 $\left\{\ln \left(u_{n}\right)\right\}$ 收敛的充要条件为 $\sum_{n=1}^{+\infty} \ln \left(1+a_{n}\right)$ 收敛。由于 $\ln \left(1+a_{n}\right) \sim a_{n}(n \rightarrow \infty)$ ，所以 $\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+a_{n}\right)$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 同为收玫或发散，从而数列 $\left\{u_{n}\right\}$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 同为收玫或发散．
（1）由于 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{k!}$ 收敛，所以 $\displaystyle \left\{\left(1+\frac{1}{2!}\right)\left(1+\frac{1}{3!}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{n!}\right)\right\}$ 收敛。
（2）由于 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}$ 收敛，所以 $\displaystyle \left\{\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)\right\}$ 收敛。
（2）记级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 的部分和为 $S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ，级数 $\sum_{m=0}^{\infty} 2^{m} a_{2^{m}}$ 的部分和为 $T_{m}=\sum_{k=0}^{m} 2^{k} a_{2^{k}}$ ．
对任意的正整数 $n$ ，选取正整数 $m$ ，使得 $n<2^{m}$ ，则
$$
\begin{aligned}
S_{n} & 2^{m}$ ，则有
$$
\begin{aligned}
S_{n} & >S_{2^{m}}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2^{m}} \\
& >a_{1}+\left(a_{2}+a_{3}\right)+\left(a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}\right)+\cdots+\left(a_{2^{m}}+a_{2^{m}+1}+a_{2^{m}+2}+\cdots+a_{2^{m+1}-1}\right) \\
& >\frac{1}{2} a_{1}+a_{2}+2 a_{2^{m}}+2^{2} a_{2^{1}}+\cdots+2^{m-1} a_{2^{m}}=\frac{1}{2} T_{m}
\end{aligned}
$$
因此当级数 $\sum_{m=0}^{\infty} 2^{m} a_{2^{m}}$ 发散时，正项数列 $\left\{T_{m}\right\}$ 无界．因而正项数列 $\left\{S_{n}\right\}$ 也无界，故级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 也发散。综上所述，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\sum_{m=0}^{\infty} 2^{m} a_{2^{m}}$ 同玫散．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立数列与级数的联系
令 $u_n = (1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)$，则 $\ln u_n = \sum_{k=1}^n \ln(1+a_k)$。由于 $a_n>0$，$\ln(1+a_n) \sim a_n$（$n\to\infty$），故 $\sum \ln(1+a_n)$ 与 $\sum a_n$ 同敛散。又 $\{u_n\}$ 收敛当且仅当 $\{\ln u_n\}$ 收敛，因此 $\{u_n\}$ 与 $\sum a_n$ 同敛散。
公式：$\ln(1+x) \sim x \ (x\to 0)$
提示：注意 $a_n>0$ 保证 $\ln(1+a_n)$ 有意义且等价无穷小成立。
步骤 2/6
目标：证明第一个具体数列收敛
考虑级数 $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n!}$，由比值判别法或已知 $e$ 的展开知该级数收敛。根据（1）的结论，数列 $\left\{(1+\frac{1}{2!})(1+\frac{1}{3!})\cdots(1+\frac{1}{n!})\right\}$ 收敛。
公式：$\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n!}$ 收敛
提示：注意 $a_n = 1/n!$，$n$ 从2开始，但级数收敛性不受有限项影响。
步骤 3/6
目标：证明第二个具体数列收敛
考虑级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}$，这是公比为 $1/2$ 的等比级数，收敛。根据（1）的结论，数列 $\left\{(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2^2})\cdots(1+\frac{1}{2^n})\right\}$ 收敛。
公式：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = 1$
提示：注意 $a_n = 1/2^n$，级数收敛。
步骤 4/6
目标：证明Cauchy凝聚判别法：若级数收敛则原级数收敛
设 $\sum_{m=0}^\infty 2^m a_{2^m}$ 收敛，则其部分和 $T_m$ 有界。对任意 $n$，取 $m$ 使 $n<2^m$，则 $S_n \le S_{2^m} = a_1 + a_2 + \cdots + a_{2^m}$。将项分组：$a_1$，$a_2+a_3$，$a_4+\cdots+a_7$，…，$a_{2^m}+\cdots+a_{2^{m+1}-1}$。由 $a_n$ 递减，每组和不超过 $2^k a_{2^k}$，故 $S_{2^m} \le a_1 + 2a_2 + 2^2 a_{2^2} + \cdots + 2^m a_{2^m} = T_m$。因此 $S_n$ 有界，$\sum a_n$ 收敛。
公式：$S_{2^m} \le T_m$
提示：分组时注意 $a_{2^k}$ 是每组中最大的项，利用递减性放缩。
步骤 5/6
目标：证明Cauchy凝聚判别法：若原级数收敛则凝聚级数收敛
设 $\sum a_n$ 收敛，则其部分和 $S_n$ 有界。对任意 $m$，取 $n>2^m$，则 $S_n \ge S_{2^m}$。同样分组，但每组和至少为 $2^{k-1} a_{2^k}$（因为每组有 $2^{k-1}$ 项，最小项为 $a_{2^k}$），故 $S_{2^m} \ge \frac{1}{2}a_1 + a_2 + 2a_{2^2} + \cdots + 2^{m-1}a_{2^m} = \frac{1}{2}T_m$。因此 $T_m$ 有界，$\sum 2^m a_{2^m}$ 收敛。
公式：$S_{2^m} \ge \frac{1}{2}T_m$
提示：注意 $a_1$ 项单独处理，放缩时系数为 $1/2$。
步骤 6/6
目标：总结Cauchy凝聚判别法
由以上两步，$\sum a_n$ 与 $\sum 2^m a_{2^m}$ 同敛散。
提示：该判别法适用于递减正项级数。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。