中册 6.1 数项级数的敛散性 第48题

\section*{解题过程：} （1）由 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)=y>0$ ，存在 $N_{1} \in \mathbf{N}^{+}$，当 $n \geqslant N_{1}$ 时， $$ \frac{y}{2} \leqslant b_{n}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right) \leqslant \frac{3}{2} y . $$ 由此可得 $a_{n}-a_{n+1}>0$ ．于是 $\left\{a_{n+N_{1}}\right\}$ 单调递减有下界，故数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收玫，进一步级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$收玫。 再由 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_{n}}{n}=0$ ，存在正整数 $N_{2}$ ，使当 $n \geqslant N_{2}$ 时，$\displaystyle \frac{b_{n}}{n}<1$ ． 记 $\max \left\{N_{1}, N_{2}\right\}=N$ ，则当 $n>N$ 时， $$ \frac{y}{2} \leqslant \frac{b_{n}}{n} \cdot n\left(\frac{a_{n}-a_{n+1}}{a_{n+1}}\right) \leqslant n \frac{a_{n}-a_{n+1}}{a_{n+1}} $$ 于是 $\displaystyle \frac{y}{2} \frac{a_{n+1}}{n} \leqslant a_{n}-a_{n+1}$ ，从而 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}}{n}$ 收玫，由此必有 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ．事实上，若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a>0$ ，由保号性，当 $n$ 充分大时 $\displaystyle a_{n}>\frac{a}{2}$ ，于是 $\displaystyle \frac{a_{n}}{n}>\frac{a}{2 n}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}}{n}$ 发散，矛盾！ 由 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_{n}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)}{\frac{b_{n}}{n}}=+\infty$ ，存在 $r>1$ 及正整数 $n_{0}$ ，使得当 $n>n_{0}$ 时有 $\displaystyle n\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)>r$ ．利用 Raabe 判别法得级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫。 （2）由 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)=\lambda>0$ ，存在正整数 $N$ ，当 $n>N$ 时，$a_{n+1}0$ 知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}}{n}$ 收玫．由此可推知必有 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$（见（1））．根据莱布尼兹判别法，$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 收玫． （3）当 $a=\mathrm{e}$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a^{\ln n}}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ ，级数发散． 当 $a \neq \mathrm{e}$ 时，设 $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{a^{\ln n}}$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{x_{n}}{x_{n+1}}-1\right)=\ln a$ 。故当 $a<\mathrm{e}$ 时，原级数发散，当 $a>\mathrm{e}$ 时，原级数收玫。 （4）$\displaystyle \left\{\frac{1}{2^{\ln n}}\right\}$ 单调减少趋于 0 ，由莱布尼兹判别法，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{\ln n}}$ 是收玫的． 由（3）知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{\ln n}}$ 发散，所以级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{\ln n}}$ 条件收玫。