中册 6.1 数项级数的敛散性 第49题
📝 题目
49．证明或判断下列级数的敛散性．
（1）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数，证明：（1）若存在正数 $\alpha$ 及正整数 $N$ ，当 $n \geqslant N$ 时，有 $\displaystyle \frac{\ln \frac{1}{a_{n}}}{\ln n} \geqslant 1+\alpha$ ，则
$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫；（2）若存在正整数 $N$ ，当 $n \geqslant N$ 时，有 $\displaystyle \frac{\ln \frac{1}{a_{n}}}{\ln n} \leqslant 1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散．
（2）判别级数 $\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$ 的玫散性．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由 $\displaystyle \frac{\ln \frac{1}{a_{n}}}{\ln n} \geqslant 1+\alpha$ ，当 $n \geqslant N$ 时有 $\displaystyle 01+0.01(n \geqslant 16)$ ，故级数 $\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$ 收玫．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解条件并转化为不等式
对于正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$，已知存在正数 $\alpha$ 及正整数 $N$，当 $n \geq N$ 时，有 $\frac{\ln(1/a_n)}{\ln n} \geq 1+\alpha$。由于 $\ln n > 0$（$n \geq 2$），两边乘以 $\ln n$ 得 $\ln(1/a_n) \geq (1+\alpha)\ln n = \ln n^{1+\alpha}$。
公式：$\frac{\ln(1/a_n)}{\ln n} \geq 1+\alpha \Rightarrow \ln(1/a_n) \geq \ln n^{1+\alpha}$
提示：注意 $\ln n$ 在 $n\geq 2$ 时为正，不等式方向不变。
步骤 2/7
目标：推导 $a_n$ 的上界
由 $\ln(1/a_n) \geq \ln n^{1+\alpha}$，且 $\ln x$ 单调递增，可得 $1/a_n \geq n^{1+\alpha}$，即 $a_n \leq 1/n^{1+\alpha}$。
公式：$a_n \leq \frac{1}{n^{1+\alpha}}$
提示：注意取倒数时不等式方向反转。
步骤 3/7
目标：应用比较判别法证明收敛
由于 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+\alpha}}$ 是 $p$ 级数，$p=1+\alpha>1$，因此收敛。由比较判别法，$0 \leq a_n \leq \frac{1}{n^{1+\alpha}}$，故 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛。
公式：$p$ 级数 $\sum \frac{1}{n^p}$ 当 $p>1$ 时收敛
提示：比较判别法要求正项级数，且不等式方向正确。
步骤 4/7
目标：处理第二个条件
若存在正整数 $N$，当 $n \geq N$ 时，有 $\frac{\ln(1/a_n)}{\ln n} \leq 1$。同样乘以 $\ln n$ 得 $\ln(1/a_n) \leq \ln n$，即 $1/a_n \leq n$，所以 $a_n \geq 1/n$。
公式：$\frac{\ln(1/a_n)}{\ln n} \leq 1 \Rightarrow a_n \geq \frac{1}{n}$
提示：注意 $\ln(1/a_n) \leq \ln n$ 推出 $1/a_n \leq n$ 时，由于 $\ln x$ 单调递增，不等式方向不变。
步骤 5/7
目标：应用比较判别法证明发散
调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散。由于 $a_n \geq 1/n$，由比较判别法，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散。
公式：调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ 发散
提示：比较判别法：若 $a_n \geq b_n$ 且 $\sum b_n$ 发散，则 $\sum a_n$ 发散。
步骤 6/7
目标：分析第二问级数的通项
考虑级数 $\sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$。令 $a_n = \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$。计算 $\frac{\ln(1/a_n)}{\ln n} = \frac{\ln((\ln n)^{\ln n})}{\ln n} = \frac{\ln n \cdot \ln \ln n}{\ln n} = \ln \ln n$。
公式：$\frac{\ln(1/a_n)}{\ln n} = \ln \ln n$
提示：注意 $\ln(1/a_n) = \ln((\ln n)^{\ln n}) = \ln n \cdot \ln \ln n$。
步骤 7/7
目标：应用第一问结论判断敛散性
当 $n \geq 16$ 时，$\ln \ln n > \ln \ln 16 = \ln(\ln 16) \approx \ln(2.77) \approx 1.02 > 1$，因此存在 $\alpha > 0$（例如 $\alpha = 0.01$）使得 $\ln \ln n \geq 1+\alpha$ 对足够大的 $n$ 成立。由第一问的结论，级数收敛。
公式：取 $\alpha = \ln \ln 16 - 1 > 0$
提示：需要验证存在 $\alpha > 0$，即 $\ln \ln n$ 最终大于某个大于1的常数。
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