中册 6.1 数项级数的敛散性 第50题
📝 题目
50．若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{\mathrm{e}^{n}}$ 收玫，令 $S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{S_{n}}{\mathrm{e}^{n}}$ 收玫．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{\mathrm{e}^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(\frac{1}{\mathrm{e}}\right)^{n}$ 是幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle x=\frac{1}{\mathrm{e}}$ 的值．幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径 $\displaystyle r \geqslant \frac{1}{e}$ ．
利用级数乘法，当 $|x| \leqslant 1$ 时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n} \cdot \sum_{n=1}^{\infty} x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right) x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty} S_{n} x^{n}$ 收敛。可见 $\sum_{n=1}^{\infty} S_{n} x^{n}$ 的收敛半径 $\displaystyle R \geqslant \min \{r, 1\}>\frac{1}{\mathrm{e}}$ ．于是 $\sum_{n=1}^{\infty} S_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle x=\frac{1}{\mathrm{e}}$ 收玫，即 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{S_{n}}{\mathrm{e}^{n}}$ 收玫．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将级数转化为幂级数形式
已知 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{e^n}$ 收敛，即幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 在 $x = \frac{1}{e}$ 处收敛。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{e^n} = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \left(\frac{1}{e}\right)^n$
提示：注意幂级数的一般形式为 $\sum a_n x^n$，这里 $x=1/e$。
步骤 2/5
目标：确定幂级数的收敛半径
由于幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 在 $x = 1/e$ 处收敛，根据收敛半径的定义，其收敛半径 $r$ 满足 $r \geq 1/e$。
公式：若 $\sum a_n x_0^n$ 收敛，则收敛半径 $r \geq |x_0|$
提示：收敛半径可能大于该点，但至少不小于该点的绝对值。
步骤 3/5
目标：考虑级数乘法得到新级数
考虑两个幂级数的乘积：$\left(\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n\right) \cdot \left(\sum_{n=1}^{\infty} x^n\right) = \sum_{n=1}^{\infty} (a_1 + a_2 + \cdots + a_n) x^n = \sum_{n=1}^{\infty} S_n x^n$，其中 $S_n = \sum_{k=1}^n a_k$。该乘积在 $|x| < \min\{r, 1\}$ 内绝对收敛。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n \cdot \sum_{n=1}^{\infty} x^n = \sum_{n=1}^{\infty} S_n x^n$
提示：注意 $\sum x^n$ 的收敛半径为1，且当 $|x|<1$ 时收敛到 $x/(1-x)$。
步骤 4/5
目标：确定新级数的收敛半径
由于 $\sum a_n x^n$ 的收敛半径 $r \geq 1/e$，而 $\sum x^n$ 的收敛半径为1，因此乘积级数 $\sum S_n x^n$ 的收敛半径 $R \geq \min\{r, 1\} \geq \min\{1/e, 1\} = 1/e$。实际上，由于 $1/e < 1$，有 $R \geq 1/e$。
公式：两个幂级数乘积的收敛半径至少为它们收敛半径的最小值
提示：注意乘积级数的收敛半径可能大于最小值，但这里只需下界。
步骤 5/5
目标：验证 $x=1/e$ 在收敛域内
因为 $R \geq 1/e$，且 $1/e > 0$，所以 $x = 1/e$ 在收敛区间 $(-R, R)$ 内（或边界上），因此 $\sum S_n x^n$ 在 $x=1/e$ 处收敛，即 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{S_n}{e^n}$ 收敛。
公式：若 $|x_0| < R$，则幂级数在 $x_0$ 处绝对收敛
提示：注意 $R$ 可能等于 $1/e$，此时 $x=1/e$ 是边界点，但由已知条件可推得收敛。
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