中册 6.1 数项级数的敛散性 第51题
📝 题目
51．求下列级数的和．
（1）设 $x_{0}=0, x_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}(n \geqslant 1), \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=b$ ，求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(x_{n}+x_{n-1}\right)$ 之和．
（2）已知 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}=A, \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}=B$ ，求 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由 $a_{n}=x_{n}-x_{n-1}(n \geq 1)$ 得 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(x_{n}+x_{n-1}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(x_{n}^{2}-x_{n-1}^{2}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}\left(x_{k}^{2}-x_{k-1}^{2}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}^{2}=b^{2}$ ．
（2）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 的部分和为 $S_{n}, \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}=B$ 的部分和为 $T_{n}, \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}=A$ 的部分和为 $\sigma_{n}$ ，则
$$
\begin{gathered}
\sigma_{2 n}=-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots-a_{2 n-2}+a_{2 n}=-\left(a_{1}+a_{3}+\cdots+a_{2 n-1}\right)+\left(a_{2}+a_{4}+\cdots+a_{2 n}\right)=-2 T_{n}+S_{2 n} . \\
\sigma_{2 n-1}=-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots-a_{2 n-1}=-\left(a_{1}+a_{3}+\cdots+a_{2 n-1}\right)+\left(a_{2}+a_{4}+\cdots+a_{2 n-2}\right)=-2 T_{n}+S_{2 n-1} .
\end{gathered}
$$
于是 $\quad \lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sigma_{2 n}+2 \lim _{n \rightarrow \infty} T_{n}=A+2 B, \lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sigma_{2 n-1}+2 \lim _{n \rightarrow \infty} T_{n}=A+2 B$ ．
所以级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫于 $A+2 B$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将通项转化为平方差形式
由定义 $x_n = \sum_{k=1}^n a_k$，可得 $a_n = x_n - x_{n-1}$（$n \geq 1$，且 $x_0=0$）。代入级数通项：$a_n(x_n + x_{n-1}) = (x_n - x_{n-1})(x_n + x_{n-1}) = x_n^2 - x_{n-1}^2$。
公式：$a_n = x_n - x_{n-1}$
提示：注意 $x_0=0$，确保 $n=1$ 时 $a_1 = x_1 - x_0$ 成立。
步骤 2/7
目标：裂项求和
级数部分和：$\sum_{n=1}^N a_n(x_n + x_{n-1}) = \sum_{n=1}^N (x_n^2 - x_{n-1}^2) = x_N^2 - x_0^2 = x_N^2$。
公式：$\sum_{n=1}^N (x_n^2 - x_{n-1}^2) = x_N^2 - x_0^2$
提示：裂项后中间项抵消，只剩首尾项。
步骤 3/7
目标：取极限得到级数和
已知 $\lim_{n \to \infty} x_n = b$，则级数和 $\sum_{n=1}^\infty a_n(x_n + x_{n-1}) = \lim_{N \to \infty} x_N^2 = b^2$。
公式：$\lim_{n \to \infty} x_n = b$
提示：极限存在时，平方的极限等于极限的平方。
步骤 4/7
目标：引入部分和符号
设 $S_n = \sum_{k=1}^n a_k$，$T_n = \sum_{k=1}^n a_{2k-1}$，$\sigma_n = \sum_{k=1}^n (-1)^k a_k$。已知 $\lim_{n \to \infty} \sigma_n = A$，$\lim_{n \to \infty} T_n = B$。
提示：注意 $\sigma_n$ 是交错级数的部分和，$T_n$ 是奇数项部分和。
步骤 5/7
目标：建立偶数项部分和的关系
考虑 $\sigma_{2n}$：$\sigma_{2n} = -a_1 + a_2 - a_3 + \cdots - a_{2n-1} + a_{2n} = -(a_1 + a_3 + \cdots + a_{2n-1}) + (a_2 + a_4 + \cdots + a_{2n}) = -T_n + (S_{2n} - T_n) = S_{2n} - 2T_n$。
公式：$\sigma_{2n} = S_{2n} - 2T_n$
提示：注意 $S_{2n} = (a_1 + a_3 + \cdots + a_{2n-1}) + (a_2 + a_4 + \cdots + a_{2n}) = T_n + (S_{2n} - T_n)$。
步骤 6/7
目标：建立奇数项部分和的关系
考虑 $\sigma_{2n-1}$：$\sigma_{2n-1} = -a_1 + a_2 - a_3 + \cdots - a_{2n-1} = -(a_1 + a_3 + \cdots + a_{2n-1}) + (a_2 + a_4 + \cdots + a_{2n-2}) = -T_n + (S_{2n-1} - T_n) = S_{2n-1} - 2T_n$。
公式：$\sigma_{2n-1} = S_{2n-1} - 2T_n$
提示：注意 $S_{2n-1} = T_n + (S_{2n-1} - T_n)$，其中 $S_{2n-1} - T_n$ 是前 $2n-1$ 项中偶数项的和。
步骤 7/7
目标：取极限得到级数和
由 $\sigma_{2n} = S_{2n} - 2T_n$ 得 $S_{2n} = \sigma_{2n} + 2T_n$，取极限：$\lim_{n \to \infty} S_{2n} = \lim_{n \to \infty} \sigma_{2n} + 2 \lim_{n \to \infty} T_n = A + 2B$。同理，$\lim_{n \to \infty} S_{2n-1} = \lim_{n \to \infty} \sigma_{2n-1} + 2 \lim_{n \to \infty} T_n = A + 2B$。因此 $\lim_{n \to \infty} S_n = A + 2B$，即 $\sum_{n=1}^\infty a_n = A + 2B$。
公式：$\lim_{n \to \infty} S_n = A + 2B$
提示：注意 $\sigma_{2n}$ 和 $\sigma_{2n-1}$ 的极限均为 $A$，因为原级数收敛。
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