中册 6.1 数项级数的敛散性 第52题
📝 题目
52．对级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ ，设 $\displaystyle a_{n}^{+}=\frac{\left|a_{n}\right|+a_{n}}{2}, a_{n}^{-}=\frac{\left|a_{n}\right|-a_{n}}{2}$ ，证明：（1）$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛的充要条件是 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{+}$及 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{-}$绝对收敛；（2）$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收敛的充要条件是 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{+}$及 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{-}$都发散到正无穷大。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）当 $a_{n} \geqslant 0$ 时，$a_{n}^{+}=a_{n} \geqslant 0, a_{n}^{-}=0$ ；当 $a_{n} \leqslant 0$ 时，$a_{n}^{+}=0, a_{n}^{-}=\left|a_{n}\right|=-a_{n} \geqslant 0$ ，从而有
$$
0 \leqslant a_{n}^{+} \leqslant\left|a_{n}\right|, 0 \leqslant a_{n}^{-} \leqslant\left|a_{n}\right|, a_{n}^{+}+a_{n}^{-}=\left|a_{n}\right|
$$
所以 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛的充要条件是 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{+}$及 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{-}$绝对收敛。
（2）（反证法）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{+}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left|a_{n}\right|+a_{n}}{2}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\left(2 a_{n}^{+}-a_{n}\right)=2 \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{+}-\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，矛盾；
若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{-}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left|a_{n}\right|-a_{n}}{2}$ 收玫，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\left(2 a_{n}^{-}+a_{n}\right)=2 \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{+}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，矛盾．
所以 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收玫的充要条件是 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{+}$及 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{-}$都发散到正无穷大。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解定义与基本性质
首先，明确 $a_n^+$ 和 $a_n^-$ 的定义：
$$a_n^+ = \frac{|a_n| + a_n}{2}, \quad a_n^- = \frac{|a_n| - a_n}{2}.$$
当 $a_n \ge 0$ 时，$a_n^+ = a_n$，$a_n^- = 0$；当 $a_n \le 0$ 时，$a_n^+ = 0$，$a_n^- = |a_n| = -a_n$。因此，$a_n^+ \ge 0$，$a_n^- \ge 0$，且满足：
$$0 \le a_n^+ \le |a_n|, \quad 0 \le a_n^- \le |a_n|, \quad a_n^+ + a_n^- = |a_n|.$$
公式：a_n^+ + a_n^- = |a_n|
提示：注意 $a_n^+$ 和 $a_n^-$ 都是非负的，且分别代表 $a_n$ 的正部和负部（绝对值形式）。
步骤 2/7
目标：证明(1)的充分性
假设 $\sum a_n^+$ 和 $\sum a_n^-$ 都绝对收敛。由于 $a_n^+ \ge 0$，$a_n^- \ge 0$，绝对收敛即收敛。由 $|a_n| = a_n^+ + a_n^-$，根据收敛级数的线性性质，$\sum |a_n| = \sum a_n^+ + \sum a_n^-$ 收敛，因此 $\sum a_n$ 绝对收敛。
公式：|a_n| = a_n^+ + a_n^-
提示：注意这里 $\sum a_n^+$ 和 $\sum a_n^-$ 都是正项级数，收敛即绝对收敛。
步骤 3/7
目标：证明(1)的必要性
假设 $\sum a_n$ 绝对收敛，即 $\sum |a_n|$ 收敛。由于 $0 \le a_n^+ \le |a_n|$ 且 $0 \le a_n^- \le |a_n|$，由比较判别法，正项级数 $\sum a_n^+$ 和 $\sum a_n^-$ 都收敛，即绝对收敛。
公式：0 ≤ a_n^+ ≤ |a_n|, 0 ≤ a_n^- ≤ |a_n|
提示：比较判别法要求非负项，这里 $a_n^+$ 和 $a_n^-$ 非负，可直接应用。
步骤 4/7
目标：总结(1)的结论
综合充分性和必要性，$\sum a_n$ 绝对收敛当且仅当 $\sum a_n^+$ 和 $\sum a_n^-$ 都绝对收敛（即收敛）。
提示：注意绝对收敛与收敛在正项级数下等价。
步骤 5/7
目标：证明(2)的充分性
假设 $\sum a_n$ 条件收敛，即 $\sum a_n$ 收敛但 $\sum |a_n|$ 发散。用反证法证明 $\sum a_n^+$ 和 $\sum a_n^-$ 都发散到正无穷。若 $\sum a_n^+$ 收敛，则 $\sum |a_n| = \sum (2a_n^+ - a_n) = 2\sum a_n^+ - \sum a_n$ 收敛（因为 $\sum a_n$ 收敛），矛盾。同理，若 $\sum a_n^-$ 收敛，则 $\sum |a_n| = \sum (2a_n^- + a_n) = 2\sum a_n^- + \sum a_n$ 收敛，矛盾。因此 $\sum a_n^+$ 和 $\sum a_n^-$ 都发散。由于它们是非负项级数，发散意味着趋向正无穷。
公式：|a_n| = 2a_n^+ - a_n, |a_n| = 2a_n^- + a_n
提示：注意 $\sum a_n$ 收敛是已知条件，反证法假设其中一个收敛会导致 $\sum |a_n|$ 收敛，与条件收敛矛盾。
步骤 6/7
目标：证明(2)的必要性
假设 $\sum a_n^+$ 和 $\sum a_n^-$ 都发散到正无穷。由于 $a_n = a_n^+ - a_n^-$，且 $a_n^+ \ge 0$，$a_n^- \ge 0$，考虑部分和 $S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n a_k^+ - \sum_{k=1}^n a_k^-$。因为两个正项级数都发散到无穷，它们的部分和都趋于 $+\infty$，但它们的差可能收敛。实际上，条件收敛的典型例子如交错调和级数满足此性质。需要证明 $\sum a_n$ 收敛且 $\sum |a_n|$ 发散。由 $|a_n| = a_n^+ + a_n^-$，$\sum |a_n|$ 发散（因为两个发散正项级数之和发散）。而 $\sum a_n$ 收敛性需要额外条件，但题目中“条件收敛”的定义包含收敛性，因此必要性陈述为：若 $\sum a_n$ 条件收敛，则 $\sum a_n^+$ 和 $\sum a_n^-$ 都发散到正无穷。反之，若 $\sum a_n^+$ 和 $\sum a_n^-$ 都发散到正无穷，不能保证 $\sum a_n$ 收敛（例如 $a_n=1$ 时，$a_n^+=1$，$a_n^-=0$，但 $\sum a_n$ 发散）。因此原命题的充要性表述可能不准确，但按照常见教材，条件收敛时确实有 $\sum a_n^+$ 和 $\sum a_n^-$ 都发散到无穷。这里我们按题目要求，只证明条件收敛的必要性，即从条件收敛推出两者发散。
公式：a_n = a_n^+ - a_n^-
提示：注意必要性是条件收敛推出两者发散，但反之不一定成立，题目中“充要条件”可能指条件收敛等价于两者发散且原级数收敛，但原题表述为“条件收敛的充要条件是...都发散到正无穷”，实际上缺少原级数收敛的条件。通常教材中，条件收敛等价于原级数收敛且正部与负部级数发散。这里我们按题目原意，只证明必要性部分。
步骤 7/7
目标：总结(2)的结论
因此，$\sum a_n$ 条件收敛时，$\sum a_n^+$ 和 $\sum a_n^-$ 都发散到正无穷。反之，若两者都发散到正无穷且 $\sum a_n$ 收敛，则 $\sum a_n$ 条件收敛。但题目直接给出充要条件，我们已证明必要性，充分性需额外假设 $\sum a_n$ 收敛。
提示：注意条件收敛的定义：级数收敛但非绝对收敛。
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