中册 6.1 数项级数的敛散性 第53题
📝 题目
53．设正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散，则 $\forall k>0$ ，正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(k+\frac{1}{n^{2}}\right) u_{n}$ 发散．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
若正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(k+\frac{1}{n^{2}}\right) u_{n}$ 收玫，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(k+\frac{1}{n^{2}}\right) u_{n}=0$ ，从而 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$ 。故 $\left\{u_{n}\right\}$ 有界。从而正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} u_{n}$ 收玫。
由 $\displaystyle k u_{n}=\left(k+\frac{1}{n^{2}}\right) u_{n}-\frac{1}{n^{2}} u_{n}$ 得 $\sum_{n=1}^{\infty} k u_{n}$ 收玫，与正项级数的 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散矛盾。所以正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(k+\frac{1}{n^{2}}\right) u_{n}$ 发散。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：假设结论不成立，引出矛盾
假设正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (k+\frac{1}{n^2}) u_n$ 收敛，则根据级数收敛的必要条件，有 $\lim_{n\to\infty} (k+\frac{1}{n^2}) u_n = 0$。由于 $k>0$，且 $\frac{1}{n^2}\to 0$，因此 $\lim_{n\to\infty} u_n = 0$。
公式：若 $\sum a_n$ 收敛，则 $\lim a_n = 0$
提示：注意正项级数收敛的必要条件是通项趋于0，但反之不成立。
步骤 2/5
目标：证明 $u_n$ 有界
由 $\lim_{n\to\infty} u_n = 0$ 可知，数列 $\{u_n\}$ 收敛，从而有界，即存在 $M>0$，使得 $0 \leq u_n \leq M$ 对所有 $n$ 成立。
提示：收敛数列必有界，但注意这里 $u_n$ 是正项，所以下界为0。
步骤 3/5
目标：证明 $\sum \frac{1}{n^2} u_n$ 收敛
由于 $0 \leq \frac{1}{n^2} u_n \leq \frac{M}{n^2}$，而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{M}{n^2}$ 收敛（$p$-级数，$p=2>1$），由比较判别法知 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} u_n$ 收敛。
公式：比较判别法：若 $0 \leq a_n \leq b_n$ 且 $\sum b_n$ 收敛，则 $\sum a_n$ 收敛
提示：注意比较判别法要求正项级数，且大级数收敛推小级数收敛。
步骤 4/5
目标：分解 $k u_n$ 并证明其收敛
由 $k u_n = (k+\frac{1}{n^2}) u_n - \frac{1}{n^2} u_n$，已知 $\sum (k+\frac{1}{n^2}) u_n$ 收敛（假设），且 $\sum \frac{1}{n^2} u_n$ 收敛，则两个收敛级数的差 $\sum k u_n$ 也收敛。
公式：收敛级数的线性性质：若 $\sum a_n$ 和 $\sum b_n$ 收敛，则 $\sum (a_n - b_n)$ 收敛
提示：注意这里 $k u_n$ 是常数倍，但直接利用线性性质即可。
步骤 5/5
目标：导出矛盾
由于 $k>0$，$\sum k u_n = k \sum u_n$ 收敛意味着 $\sum u_n$ 收敛，这与已知条件 $\sum u_n$ 发散矛盾。因此假设不成立，原级数 $\sum (k+\frac{1}{n^2}) u_n$ 发散。
公式：若 $\sum a_n$ 收敛，则 $\sum c a_n$ 收敛（$c$ 为常数）
提示：注意常数因子不影响收敛性，但这里 $k>0$ 是常数。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。