中册 6.1 数项级数的敛散性 第54题

答：错误．反例 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散． （2）存在级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ ，使得当 $n \rightarrow+\infty$ 时，$u_{n}$ 不趋于 0 ，但 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收玫．（上海大学 2003）答：错误．若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收玫，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$ ． （3）$\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_{n+1}-u_{n}\right|$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}$ 存在．（重庆大学 2003） 答：正确．由 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_{n+1}-u_{n}\right|$ 收玫得 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n+1}-u_{n}\right)$ 收玫，于是 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}$ 存在。 （4）若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫．（山西师大 2007 ，华东师大 2004／2007，南京农大 2007） 答：正确．见题 17．级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫得 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，故 $\exists N>0$ 使 $00, \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ，那么正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫．（华东师大 2005，沈阳 工 大 2010，中北大学 2004） 答：错误．如 $\displaystyle a_{n}=\frac{1}{n \ln n}, n \geqslant 2, \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{\ln n}=0$ ．由于反常积分 $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln x} \mathrm{~d} x$ 是发散的，故正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散． （7）若 $a_{n}$ 非负单调递减，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫．（东南大学 2009） 答：错误．$\displaystyle a_{n}=\frac{1}{(n+1) \ln (n+1)}, a_{n}$ 非负单调递减， $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ，但 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散． （8）若 $u_{n}>0(n=1,2, \cdots)$ 且 $\displaystyle \forall n, \frac{u_{n+1}}{u_{n}}<1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛。（重庆大学 2003） 答：错误．如 $\displaystyle u_{n}=\frac{1}{n}, \forall n, \frac{u_{n+1}}{u_{n}}<1$ ，但 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散． （9）对数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, \forall n \in \mathbf{N}^{+}$时， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=l<1$ ，那么级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫．（浙江理工 2012） 答：错误。 $\displaystyle a_{n}=(-2)^{n}, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=-2<1$ ，但 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散。 （10）对正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ ，若存在 $N$ ，使得当 $n>N$ 时，$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1$ ，那么级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，反之也成立．（东南大学 2004） 答：错误．正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ ，对任一自然数 $n$ 时，$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1$ ，但级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散．但反之不一 定成立．如级数 $\displaystyle 1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\cdots$ 收玫，但 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1$ 不满足． （11）条件收玫的级数任意交换求和次序后得到的新级数也是收玫的．（苏州大学 2012／2013）答：错误。如 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ ，但 $\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{4}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\frac{1}{6}+\cdots$ 发散。 （12）级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ 或 $\displaystyle a_{n}=o\left(\frac{1}{n}\right)$ 或 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left|a_{n}\right|=0$ 。（吉林大学 2010，兰州大学 2003，武汉大学2003，中南大学2006） 答：错误．反例 $\displaystyle a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$ ，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，但是 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}$ 不存在． （13）设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n}$ 收敛．（华东师大 2008） 答：正确．由 Abel 判别法知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n}$ 收玫． （14）设正数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足条件 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 收敛．（华东师大 2013／2006，苏州大学 2009） 答：错误．反例 $\displaystyle a_{n}=\frac{2}{n}+\frac{(-1)^{n}}{n}$ ，显然 $a_{n}>0$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，但是 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 发散。 （15）设正数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调减少，则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 收敛．（南昌大学 2004） 答：错误．反例 $\displaystyle a_{n}=\frac{n+2}{n+1},\left\{a_{n}\right\}$ 单调减少，则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 发散． （16）若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 收玫．（上海大学 2009，苏州大学 2010）• 答：错误．反例 $\displaystyle a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}$ ，显然 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，但是 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 发散。 （17）若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 收玫．（太原理工 2004，上海交大 2000） 答：错误．反例 $\displaystyle a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，但 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 发散． （18）若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}{ }^{2}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 或 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 至少有一个收敛．（中科大 2014） 答：错误．反例 $\displaystyle a_{n}=\frac{1}{n}+\frac{(-1)^{n}}{n}$ ，显然 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫，但是 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 或 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 均发散． （19）若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}+a_{2 n}\right)$ 收敛，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛．（华东师大 2003） 答：正确．设 $S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}, \sigma_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(a_{2 k-1}+a_{2 k}\right)$ ，则 $\sigma_{n}=S_{2 n}, S_{2 n+1}=\sigma_{n}+a_{2 n+1}$ ，则 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sigma_{n}=S, \lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n+1}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sigma_{n}+\lim _{n \rightarrow \infty} a_{2 n+1}=S+0=S . $$ 故 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=S$ ，从而 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫。 （20）若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 皆收玫，那么级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 必收玫．（东南大学 2007，西南大学 2007） 答：错误．反例 $\displaystyle a_{n}=b_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$ ． （21）若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 皆收玫，那么级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}$ 必收玫．（南京农大 2009） 答：错误．反例 $\displaystyle a_{n}=b_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$ ，但 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}$ 发散 （22）若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收玫，$v_{n} \rightarrow 1(n \rightarrow \infty)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n} v_{n}$ 收玫．（南京师大 2005／2008） 答：错误。反例 $\displaystyle u_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}, v_{n}=1+\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}, u_{n} v_{n}=\frac{1}{n}+\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，$v_{n} \rightarrow 1(n \rightarrow \infty)$ ，但 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n} v_{n}$ 发散． （23）若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛，而 $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 绝对收敛．（上海交大 2007） 答：正确．由 $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=1$ 知 $\left\{b_{n}\right\}$ 有界，存在 $M>0$ ，使 $\left|a_{n} b_{n}\right| \leqslant M\left|a_{n}\right|$ ．由比较判别法得证． （24）若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}{ }^{2}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}{ }^{2}$ 都收玫，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+v_{n}\right)^{2}$ 也收玫．（东南大学 2005） 答：正确。 $\left(u_{n}+v_{n}\right)^{2} \leqslant 2\left(u_{n}^{2}+v_{n}^{2}\right)$ ，由比较判别法得级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+v_{n}\right)^{2}$ 也收玫 （25）设数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收玫，且使得 $r=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|u_{n}\right|}$ 存在，则 $r<1$ ．（东南大学 2006） 答：错误．反例 $\displaystyle u_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}, r=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|u_{n}\right|}=1$ ． （26）若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 皆发散，且 $a_{n} \leqslant c_{n} \leqslant b_{n},(n=1,2, \cdots)$ ，那么级数 $\sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 发散．（复旦大学 2005，曲阜师大2009，西安交大2009） 答：错误．反例 $\displaystyle a_{n}=-\frac{1}{n}, c_{n}=(-1)^{n} \frac{1}{n}, b_{n}=\frac{1}{n},(n=1,2, \cdots)$ ． （27）若 $b_{n} \leqslant a_{n} \leqslant c_{n}$ ，且 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}, \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 均收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 必收敛．（山西师大 2006） 答：正确。 $0 \leqslant a_{n}-b_{n} \leqslant c_{n}-b_{n}$ ，由 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(c_{n}-b_{n}\right)$ 收玫得 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}-b_{n}\right)$ 收玫，再由 $a_{n}=\left(a_{n}-b_{n}\right)+b_{n}$得证． （28）若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\forall p=1,2, \cdots, \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{n+p}\right)=0$ 。（曲阜师大 2008） 答：正确．由柯西收玫准则可得． （29）如果对任意的正整数 $p$ 总有 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=n+1}^{n+p} a_{k}=0$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛．（浙江师大 2013） 答：错误．反例 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ ，任意的正整数 $p$ 总有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=n+1}^{n+p} \frac{1}{k}=0$ ，但级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散． （30）若数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}-b_{n}\right)=0$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫当且仅当 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛．（陕西师大 1997） 答：错误．反例 $\displaystyle a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}, b_{n}=\frac{1}{n}+\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}, \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}-b_{n}\right)=0, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，但 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 发散． （31）若数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=1$ ，则当级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收玫，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 也收敛．（南昌大学 2008） 答：错误．反例 $\displaystyle b_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}, a_{n}=\frac{1}{n}+\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=1$ ，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收玫，但 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散． （32）若数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=1$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 有相同的玫散性．（湖南师大2013，上海交大 2008） 答：错误．反例 $\displaystyle b_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}, a_{n}=\frac{1}{n}+\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=1$ ，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收玫，但 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散． （33）若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则对 $\left\{a_{n}\right\}$ 的任一子列 $\left\{a_{n_{k}}\right\}$ 都有 $\sum_{k=1}^{\infty} a_{n_{k}}$ 收敛．（上海交大 1999） 答：错误．反例 $\displaystyle a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}$ ，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，但 $\sum_{k=1}^{\infty} a_{2 k}$ 发散 （34）设 $a>1$ 且为正整数，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a^{\ln n}}$ 发散．（暨南大学 2006） 答：错误．由于 $\displaystyle \frac{1}{a^{\ln n}}=\frac{1}{n^{\ln a}}$ ，所以当 $a>\mathrm{e}$ 时 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a^{\ln n}}$ 收玫，当 $a \leqslant \mathrm{e}$ 时 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a^{\ln n}}$ 发散．