中册 6.2 函数列一致收敛性 第1题
📝 题目
1．证明下列命题．
（1）证明 $S_{n}(x)=x^{n}, n=1,2, \cdots$ ，在 $[0,1]$ 上非一致收敛，但在 $[0, b](0
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）当 $x=1$ 时，$S_{n}(1)=1, S(1)=1$ ；当 $x \in[0,1)$ 时，$S(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} x^{n}=0$ ．
因为 $\sup _{x \in[0,1]}\left|S_{n}(x)-S(x)\right|=1 \rightarrow 1 \neq 0(n \rightarrow \infty)$ ，所以 $\left\{x^{n}\right\}$ 在 $[0,1]$ 上非一致收玫于零。
又因为 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in[0, b]}\left|S_{n}(x)-0\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in[0, b]} x^{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \max _{x \in[0, b]} x^{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} b^{n}=0$ ，所以 $S_{n}(x)=x^{n}, n=1,2, \cdots$ ，在 $[0, b](0
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定极限函数
对于 $S_n(x)=x^n$，当 $x=1$ 时，$S_n(1)=1$，极限 $S(1)=1$；当 $x\in[0,1)$ 时，$\lim_{n\to\infty}x^n=0$，故极限函数为 $S(x)=\begin{cases}0, & 0\le x<1\\1, & x=1\end{cases}$。
公式：$S(x)=\lim_{n\to\infty}S_n(x)$
提示：注意极限函数在端点处可能不连续，这是非一致收敛的常见特征。
步骤 2/6
目标：证明在[0,1]上非一致收敛
计算上确界：$\sup_{x\in[0,1]}|S_n(x)-S(x)|=\sup_{x\in[0,1)}|x^n-0|+|1-1|=1$，因为当$x\to1^-$时$x^n\to1$，上确界为1。由于$\lim_{n\to\infty}1=1\neq0$，故非一致收敛。
公式：$\sup_{x\in[0,1]}|S_n(x)-S(x)|=1$
提示：上确界不趋于0是非一致收敛的直接判据。
步骤 3/6
目标：证明在[0,b]上一致收敛
对于$0
公式：$\sup_{x\in[0,b]}|x^n|=b^n$
提示：闭区间上连续函数的最大值定理用于求上确界。
步骤 4/6
目标：确定函数列f_n(x)的极限函数
对于$f_n(x)=x^n-x^{2n}$，当$x\in[0,1]$时，$\lim_{n\to\infty}x^n=0$（$x=1$时也为0），故$f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0$。
公式：$f(x)=0$
提示：注意$x=1$时$f_n(1)=0$，极限函数连续。
步骤 5/6
目标：求函数列的上确界
令$\varphi(x)=|f_n(x)-f(x)|=x^n-x^{2n}$（$x\in[0,1]$）。求导：$\varphi'(x)=nx^{n-1}-2nx^{2n-1}=nx^{n-1}(1-2x^n)$。令导数为0得$x^n=1/2$，即$x=2^{-1/n}$。该点为最大值点。
公式：$\varphi'(x)=nx^{n-1}(1-2x^n)$
提示：求导时注意指数运算，$x^{2n}$的导数为$2nx^{2n-1}$。
步骤 6/6
目标：计算最大值并判断非一致收敛
最大值$\varphi_{\max}=x^n-x^{2n}=\frac12-\frac14=\frac14$。因此$\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-f(x)|=\frac14$，不依赖于$n$，极限为$\frac14\neq0$，故非一致收敛。
公式：$\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-f(x)|=\frac14$
提示：最大值与n无关，说明函数列在每点收敛但整体不一致。
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