中册 6.2 函数列一致收敛性 第2题
📝 题目
2．设函数列 $f_{n}(x)=n x(1-x)^{n}, n=1,2, \cdots$ ，证明：（1）在 $[0,1]$ 上收敛；（2）在 $[0,1]$ 上非一致收敛，但在 $[\alpha, 1](\alpha>0)$ 上一致收敛；（3） $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）当 $x=0,1$ 时有 $f_{n}(x)=0, n=1,2, \cdots$ ；当 $0\frac{1}{n+1}$ 时， $\displaystyle \sup _{[\alpha, 1]}\left|f_{n}(x)-f(x)\right| \leqslant \frac{n}{n+1}\left(1-\frac{n}{n+1}\right)^{n} \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)$ ．故 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[\alpha, 1]$ 上一致收玫。
（3） $\int_{0}^{1}\left[\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)\right] \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} 0 \mathrm{~d} x=0$ ，
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} n x(1-x)^{n} \mathrm{~d} x=\lim _{n \rightarrow \infty} n B(n+1,2)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{(n+1)(n+2)}=0 .
$$
所以 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明点态收敛
对于 $x=0$ 或 $x=1$，有 $f_n(x)=0$，极限为0。对于 $0
提示：注意 $x=0,1$ 时直接代入，$0
步骤 2/4
目标：证明在 $[0,1]$ 上非一致收敛
令 $\varphi(x)=|f_n(x)-f(x)|=n x(1-x)^n$。求导得 $\varphi'(x)=n(1-x)^{n-1}[1-(n+1)x]$。令导数为0得驻点 $x_n=\frac{1}{n+1}$。计算最大值：$\varphi(x_n)=\frac{n}{n+1}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n$。当 $n\to\infty$ 时，$\varphi(x_n)\to \frac{1}{e}\neq 0$，因此 $\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-f(x)|\not\to 0$，非一致收敛。
公式：$\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-f(x)|=\frac{n}{n+1}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n\to\frac{1}{e}$
提示：注意最大值点 $x_n$ 随 $n$ 变化，需计算极限。
步骤 3/4
目标：证明在 $[\alpha,1]$ 上一致收敛
对于任意 $\alpha>0$，当 $n$ 充分大时，$\frac{1}{n+1}<\alpha$，此时最大值点 $x_n$ 不在区间 $[\alpha,1]$ 内。函数 $\varphi(x)=n x(1-x)^n$ 在 $[\alpha,1]$ 上单调递减（因为 $x_n<\alpha$），故 $\sup_{x\in[\alpha,1]}|f_n(x)-f(x)|=n\alpha(1-\alpha)^n$。由于 $0<1-\alpha<1$，$n\alpha(1-\alpha)^n\to 0$，因此一致收敛。
公式：$\sup_{x\in[\alpha,1]}|f_n(x)-f(x)|=n\alpha(1-\alpha)^n\to 0$
提示：需说明 $n$ 充分大时 $\alpha>1/(n+1)$，确保单调性。
步骤 4/4
目标：计算极限与积分交换
首先，$\int_0^1 \lim_{n\to\infty} f_n(x) dx = \int_0^1 0 dx = 0$。其次，计算 $\int_0^1 f_n(x) dx = \int_0^1 n x (1-x)^n dx$。利用Beta函数：$\int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1} dx = B(a,b)$，这里 $a=2$, $b=n+1$，故 $\int_0^1 n x (1-x)^n dx = n B(2, n+1) = n \frac{\Gamma(2)\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+3)} = n \frac{1! \cdot n!}{(n+2)!} = \frac{n}{(n+1)(n+2)}$。取极限得 $\lim_{n\to\infty} \frac{n}{(n+1)(n+2)} = 0$。因此两者相等。
公式：$\int_0^1 n x (1-x)^n dx = \frac{n}{(n+1)(n+2)}$
提示：注意Beta函数与Gamma函数的关系，或直接分部积分。
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