中册 6.2 函数列一致收敛性 第4题
📝 题目
4．设 $f_{n}(x)=n^{c} x\left(1-x^{2}\right)^{n}, n=1,2, \cdots$ ，讨论函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上的一致收敛性．
💡 答案解析
解题过程：
易得 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=0, x \in[0,1]$ ．
记 $\varphi(x)=\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=n^{c} x\left(1-x^{2}\right)^{n}$ ，则
$$
\varphi^{\prime}(x)=n^{c}\left[\left(1-x^{2}\right)^{n}-2 x n x\left(1-x^{2}\right)^{n-1}\right]=n^{c}\left(1-x^{2}\right)^{n-1}\left(1-(2 n+1) x^{2}\right) .
$$
易证 $\varphi(x)$ 在 $\displaystyle x_{n}=\sqrt{\frac{1}{2 n+1}}$ 处达到最大值，因而
$$
\sup _{x \in[0,1]}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=\sup _{x \in[0,1]}\left|n^{c} x\left(1-x^{2}\right)^{n}\right|=n^{c} \sqrt{\frac{1}{2 n+1}}\left(\frac{2 n}{2 n+1}\right)^{n} .
$$
当 $\displaystyle c-\frac{1}{2}<0$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in[0,1]}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=0$ ，函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛；
当 $\displaystyle c-\frac{1}{2} \geqslant 0$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in[0,1]}\left|f_{n}(x)-f(x)\right| \neq 0$ ，函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上非一致收敛．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定极限函数
对于任意固定的 $x \in [0,1]$，当 $x=0$ 时，$f_n(0)=0$；当 $x \in (0,1]$ 时，由于 $0<1-x^2<1$，指数项 $(1-x^2)^n$ 趋于0，且 $n^c$ 增长慢于指数衰减，因此 $\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0$。故极限函数 $f(x)=0$，$x\in[0,1]$。
提示：注意 $x=0$ 和 $x=1$ 处的极限，$x=1$ 时 $(1-x^2)^n=0$，极限也为0。
步骤 2/6
目标：构造绝对值函数并求导
令 $\varphi(x)=|f_n(x)-f(x)|=n^c x(1-x^2)^n$。求导得：
$$\varphi'(x)=n^c\left[(1-x^2)^n - 2n x^2 (1-x^2)^{n-1}\right]=n^c(1-x^2)^{n-1}\left[1-(2n+1)x^2\right].$$
公式：导数公式：$(uv)'=u'v+uv'$，其中 $u=x$，$v=(1-x^2)^n$。
提示：注意复合函数求导：$((1-x^2)^n)' = n(1-x^2)^{n-1}\cdot(-2x)$。
步骤 3/6
目标：求极值点
令 $\varphi'(x)=0$，得 $1-(2n+1)x^2=0$，解得 $x_n=\sqrt{\frac{1}{2n+1}}$（$x\in[0,1]$）。由于 $\varphi(0)=0$，$\varphi(1)=0$，且 $\varphi(x)\ge0$，故 $x_n$ 为最大值点。
提示：注意 $x_n$ 在 $(0,1)$ 内，且 $\varphi'(x)$ 在 $x_n$ 左侧为正、右侧为负，确为最大值。
步骤 4/6
目标：计算上确界
将 $x_n$ 代入 $\varphi(x)$ 得：
$$\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-f(x)| = n^c \sqrt{\frac{1}{2n+1}} \left(1-\frac{1}{2n+1}\right)^n = n^c \sqrt{\frac{1}{2n+1}} \left(\frac{2n}{2n+1}\right)^n.$$
提示：注意 $(1-x_n^2) = 1-\frac{1}{2n+1} = \frac{2n}{2n+1}$。
步骤 5/6
目标：化简上确界表达式
利用极限 $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n}{2n+1}\right)^n = e^{-1/2}$，因此上确界的主阶为 $n^c \cdot n^{-1/2} = n^{c-1/2}$。更精确地，
$$\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-f(x)| \sim n^{c-1/2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-1/2} \quad (n\to\infty).$$
公式：重要极限：$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^n = e^a$，此处 $a=-1/2$。
提示：注意 $\sqrt{\frac{1}{2n+1}} \sim \frac{1}{\sqrt{2n}}$，$\left(\frac{2n}{2n+1}\right)^n = \left(1-\frac{1}{2n+1}\right)^n \to e^{-1/2}$。
步骤 6/6
目标：讨论一致收敛性
函数列一致收敛当且仅当 $\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-f(x)|=0$。由上确界的主阶 $n^{c-1/2}$ 可知：
- 若 $c-\frac{1}{2}<0$，即 $c<\frac{1}{2}$，则 $n^{c-1/2}\to0$，一致收敛；
- 若 $c-\frac{1}{2}\ge0$，即 $c\ge\frac{1}{2}$，则 $n^{c-1/2}$ 不趋于0（趋于常数或无穷），非一致收敛。
公式：一致收敛的充要条件：$\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in D}|f_n(x)-f(x)|=0$。
提示：注意 $c=1/2$ 时，上确界趋于非零常数，因此非一致收敛。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。