中册 6.2 函数列一致收敛性 第5题
📝 题目
5．证明下列命题．
（1）证明函数列 $f_{n}(x)=(1-x) x^{n}, n=1,2, \cdots$ ，在 $[0,1]$ 一致收敛，函数列 $g_{n}(x)=\left(1-x^{n}\right) x$ ， $n=1,2, \cdots$ ，在 $[0,1]$ 上非一致收敛．
（2）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，$f(1)=0$ ．证明 $\left\{f(x) x^{n}\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛．
（3）设 $f(x)$ 在 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 上连续。证明：（1）$\left\{f(x) x^{n}\right\}$ 在 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 上收敛；（2）$\left\{f(x) x^{n}\right\}$ 在 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 上一致收敛的充要条件是 $f(1)=0$ ．
（4）设 $f(x)$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续．证明：（1）$\left\{\sin ^{n} x\right\}$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上收敛，但在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上非一致收敛； （2）$\left\{\sin ^{n} x f(x)\right\}$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上一致收敛的充要条件是 $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ 。华中师大2006，漳州师院2006）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）$f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x^{n}-x^{n+1}\right)=0, x \in[0,1]$ ．
记 $\varphi(x)=\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=x^{n}-x^{n+1}$ 。令 $\varphi^{\prime}(x)=x^{n-1}[n-(n+1) x]=0$ ，得 $\displaystyle x=\frac{n}{n+1}$ 。易知 $\varphi(x)$ 在 $\displaystyle x=\frac{n}{n+1}$ 达到 $[0,1]$ 上的最大值．于是
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{[0,1]}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}\left(1-\frac{n}{n+1}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n} \frac{1}{n+1}=0 .
$$
故 $f_{n}(x)=(1-x) x^{n}, n=1,2 \cdots$ ，在 $[0,1]$ 一致收敛于 $f(x)=0$ ．
因 $g(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} g_{n}(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} x\left(1-x^{n}\right)=\left\{\begin{array}{c}x, 0 \leqslant x<1, \\ 0, x=1\end{array}\right.$ 在 $[0,1]$ 上不连续，故函数列 $\left\{g_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上：非一致收敛。
（2）由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，所以 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有界，存在 $M>0$ 使得 $|f(x)| \leqslant M, \forall x \in[0,1]$ ．
因为 $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续，$f(1)=0$ ，所以对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，当 $1-\delta0$ ，当 $n>N$ 时，$\forall x \in[0,1-\delta]$ 有 $\displaystyle \left|x^{n}\right|<\frac{\varepsilon}{M}$ ．于是 $\forall x \in[0,1-\delta]$ ，有 $\left|x^{n} f(x)-0\right|<\varepsilon$ 。
综上，对 $\forall \varepsilon>0, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时，对 $\forall x \in[0,1]$ ，有 $\left|x^{n} f(x)-0\right|<\varepsilon$ ．因此 $\left\{x^{n} f(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛。
（3）当 $x=1$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} x^{n} f(x)=f(1)$ ．当 $\displaystyle \frac{1}{2} \leqslant x<1$ 时，由于 $\lim _{n \rightarrow \infty} x^{n} f(x)=0$ ，从而 $\left\{x^{n} f(x)\right\}$ 在 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 1\right]$上收玫，且极限函数为 $g(x)=\left\{\begin{array}{l}0,2^{-1} \leqslant x \leqslant 1, \\ f(1), x=1 .\end{array}\right.$
必要性：因 $\left\{x^{n} f(x)\right\}$ 在 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 上一致收敛，$x^{n} f(x), n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 上连续，所以其极限函数 $g(x)$ 在 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 上连续，从而 $f(1)=g(1) \equiv 0$ ．
充分性：因 $f(x)$ 在 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 上连续，所以 $f(x)$ 有界，设 $\displaystyle |f(x)| \leqslant M, x \in\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ ．由 $f(1)=0$ 知 $\left\{x^{n} f(x)\right\}$ 的极限函数 $g(x) \equiv 0$ ．下面考虑 $\left|x^{n} f(x)-0\right|$ ．
由 $f(x)$ 在 $x=1$ 连续，$\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists 0<\delta<\frac{1}{2}$ ，当 $1-\delta0$ ，当 $n>N$
时，对一切 $\displaystyle x \in\left[\frac{1}{2}, 1-\delta\right]$ 有 $\left|x^{n} f(x)-0\right| \leqslant(1-\delta)^{n} M<\varepsilon$ ．
综上，任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $N$ ，当 $n>N$ 时，对一切 $\displaystyle x \in\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 有，$\left|x^{n} f_{n}(x)-0\right|<\varepsilon$ ，故 $\left\{x^{n} f(x)\right\}$ 在 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 上一致收敛。
（4）（1）当 $\displaystyle x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin ^{n} x=0$ ，当 $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin ^{n} x=1$ ．故 $\left\{\sin ^{n} x\right\}$ 的极限函数
$$
g(x)=\left\{\begin{array}{l}
0,0 \leqslant x<2^{-1} \pi \\
1, x=2^{-1} \pi
\end{array}\right.
$$
由于极限函数 $g(x)$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上不连续，从而函数列 $\left\{\sin ^{n} x\right\}$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上非一致收敛．
（2）下证：$\left\{\sin ^{n} x f(x)\right\}$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上一致收敛的充要条件是 $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ ．
当 $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$ 时， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sin ^{n} x f(x)=f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ ，当 $\displaystyle 0 \leqslant x<\frac{\pi}{2}$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin ^{n} x f(x)=0$ 。从而 $\left\{\sin ^{n} x f(x)\right\}$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上收玫，且极限函数
$$
g(x)=\left\{\begin{array}{l}
0,0 \leqslant x<2^{-1} \pi \\
f\left(2^{-1} \pi\right), x=2^{-1} \pi
\end{array}\right.
$$
必要性：因 $\left\{\sin ^{n} x f(x)\right\}$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上一致收敛，$\forall n, \sin ^{n} x f(x)$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续，所以其极限函数 $g(x)$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续，从而 $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)=g\left(\frac{\pi}{2}\right)=\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} g(x)=0$ ．
充分性：因 $f(x)$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续，所以 $f(x)$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上有界，设 $\displaystyle |f(x)| \leqslant M, x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ．由 $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ 知 $\left\{\sin ^{n} x f(x)\right\}$ 的极限函数 $g(x) \equiv 0$ ．下面考虑 $\left|\sin ^{n} x f(x)-0\right|$ 。
由 $f(x)$ 在 $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$ 连续，$\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists 0<\delta<\frac{\pi}{2}$ ，当 $\displaystyle \frac{\pi}{2}-\delta0$ ，当 $n>N$ 时，$\displaystyle \forall x \in\left(0, \frac{\pi}{2}-\delta\right)$ 有 $\left|\sin ^{n} x f(x)-0\right|<\varepsilon$ ．
综上，$\forall \varepsilon>0, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时，$\displaystyle \forall x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 有 $\left|\sin ^{n} x f(x)-0\right|<\varepsilon$ 。故 $\left\{\sin ^{n} x f(x)\right\}$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上一致收敛于 0 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明函数列 f_n(x) 一致收敛
首先求极限函数：$f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}(1-x)x^n=0$，$x\in[0,1]$。计算余项：$\varphi(x)=|f_n(x)-f(x)|=x^n-x^{n+1}$。求导得 $\varphi'(x)=x^{n-1}[n-(n+1)x]$，令其为零得 $x=\frac{n}{n+1}$，该点为最大值点。于是 $\sup_{[0,1]}|f_n(x)-f(x)|=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\left(1-\frac{n}{n+1}\right)=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\frac{1}{n+1}\to0$，故一致收敛。
公式：$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\frac{1}{n+1}=0$
提示：注意求导找最大值点，并正确计算极限。
步骤 2/6
目标：证明函数列 g_n(x) 非一致收敛
求极限函数：$g(x)=\lim_{n\to\infty}g_n(x)=\lim_{n\to\infty}x(1-x^n)=\begin{cases}x,&0\le x<1\\0,&x=1\end{cases}$。由于极限函数在 $x=1$ 处不连续（$\lim_{x\to1^-}g(x)=1\neq g(1)=0$），而每个 $g_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，故非一致收敛。
提示：利用一致收敛保持连续性这一性质。
步骤 3/6
目标：证明 {f(x)x^n} 在 [0,1] 上一致收敛
由 $f$ 连续得 $|f(x)|\le M$。对 $\forall\varepsilon>0$，由 $f(1)=0$ 及连续性，$\exists\delta>0$，当 $1-\deltaN$ 时 $x^n<\varepsilon/M$。于是 $|x^nf(x)|<\varepsilon$ 在整个区间成立，故一致收敛。
提示：注意分区间处理，利用 $f(1)=0$ 控制端点附近，利用 $x^n$ 一致收敛控制远离端点的部分。
步骤 4/6
目标：证明 {f(x)x^n} 在 [1/2,1] 上收敛并给出充要条件
收敛性：当 $x=1$ 时极限为 $f(1)$，当 $x<1$ 时极限为0，故极限函数 $g(x)=\begin{cases}0,&1/2\le x<1\\f(1),&x=1\end{cases}$。必要性：若一致收敛，则 $g$ 连续，故 $f(1)=g(1)=\lim_{x\to1^-}g(x)=0$。充分性：若 $f(1)=0$，则 $g(x)\equiv0$。类似第(2)题分区间证明一致收敛。
提示：注意区间左端点为1/2，不影响证明思路。
步骤 5/6
目标：证明 {sin^n x} 收敛但非一致收敛
当 $x\in[0,\pi/2)$ 时，$\sin x<1$，故 $\sin^n x\to0$；当 $x=\pi/2$ 时，$\sin^n x=1$。极限函数 $g(x)=\begin{cases}0,&0\le x<\pi/2\\1,&x=\pi/2\end{cases}$ 不连续，故非一致收敛。
提示：注意 $\sin x=1$ 仅在 $x=\pi/2$ 处。
步骤 6/6
目标：证明 {sin^n x f(x)} 一致收敛的充要条件
收敛性：极限函数 $g(x)=\begin{cases}0,&0\le x<\pi/2\\f(\pi/2),&x=\pi/2\end{cases}$。必要性：若一致收敛，则 $g$ 连续，故 $f(\pi/2)=0$。充分性：若 $f(\pi/2)=0$，则 $g\equiv0$。由 $f$ 连续有界，分区间 $[0,\pi/2-\delta]$ 和 $[\pi/2-\delta,\pi/2]$ 证明一致收敛。
提示：注意与第(3)题类似，但需用 $\sin^n x$ 的性质。
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