中册 6.2 函数列一致收敛性 第6题
📝 题目
6．求解下列各题．
（1）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\cos ^{n} x, n=1,2, \cdots, x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ．（1）求极限函数 $f(x)$ ；（2）$f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上是否一致收敛？（3）是否有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $f_{n}(x)=\cos x+\cos ^{2} x+\cdots+\cos ^{n} x, n=1,2, \cdots$ ，当 $\displaystyle x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)$ ，并讨论 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的一致收敛性．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）当 $\displaystyle x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right]$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} \cos ^{n} x=0$ ，当 $x=0$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} \cos ^{n} x=1$ ．故 $\left\{\cos ^{n} x\right\}$ 的极限函数
$$
g(x)=\left\{\begin{array}{l}
0,0 \leqslant x<2^{-1} \pi \\
1, x=0
\end{array}\right.
$$
由于极限函数 $g(x)$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上不连续，从而函数列 $\left\{\cos ^{n} x\right\}$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上非一致收玫．
又由于 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x=0, \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 0 \mathrm{~d} x=0$ ，所以
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x
$$
（2）$\displaystyle f_{n}(x)=\cos x+\cos ^{2} x+\cdots+\cos ^{n} x=\frac{\cos x\left(1-\cos ^{n} x\right)}{1-\cos x}$ ．
当 $\displaystyle x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时， $0<\cos x<1$ ．于是 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=\frac{\cos x}{1-\cos x}, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
由于 $\displaystyle \sup _{\left(0, \frac{\pi}{2}\right]}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=\sup _{\left(0, \frac{\pi}{2}\right]} \frac{\cos ^{n+1} x}{1-\cos x}=+\infty$ ，所以 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上非一致收玫。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求极限函数 f(x) 对于 (1) 中的 fn(x)=cos^n x
对于 $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$，当 $x=0$ 时，$\cos^n 0 = 1$，极限为 $1$；当 $x \in (0, \frac{\pi}{2}]$ 时，$0 \leq \cos x < 1$，故 $\lim_{n \to \infty} \cos^n x = 0$。因此极限函数为 $f(x) = \begin{cases} 1, & x=0 \\ 0, & x \in (0, \frac{\pi}{2}] \end{cases}$。
公式：$$\lim_{n\to\infty} q^n = 0 \quad (|q|<1)$$
提示：注意 $x=0$ 处极限为 1，其他点为 0，因此极限函数在 $x=0$ 处不连续。
步骤 2/5
目标：判断 (1) 中 fn(x) 在 [0, π/2] 上是否一致收敛
由于极限函数 $f(x)$ 在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上不连续（在 $x=0$ 处间断），而每个 $f_n(x)=\cos^n x$ 在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上连续，若一致收敛则极限函数必连续，矛盾。故 $\{f_n(x)\}$ 在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上非一致收敛。
公式：一致收敛的连续函数列极限函数连续
提示：利用连续函数列一致收敛则极限函数连续的性质，反证法。
步骤 3/5
目标：验证 (1) 中极限与积分交换次序
计算 $\lim_{n\to\infty} \int_0^{\pi/2} \cos^n x \, dx$。由 $\cos^n x \leq \cos x$ 在 $[0,\pi/2]$ 上，且 $\int_0^{\pi/2} \cos x \, dx = 1$，但更直接地，利用 $\int_0^{\pi/2} \cos^n x \, dx = \frac{\sqrt{\pi} \, \Gamma(\frac{n+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{n}{2}+1)}$，当 $n\to\infty$ 时趋于 $0$。而 $\int_0^{\pi/2} f(x) \, dx = \int_0^{\pi/2} 0 \, dx = 0$，故等式成立。
公式：$$\lim_{n\to\infty} \int_0^{\pi/2} \cos^n x \, dx = 0 = \int_0^{\pi/2} f(x) \, dx$$
提示：虽然不一致收敛，但积分极限仍等于极限的积分，因为 $f_n$ 在 $x=0$ 附近外一致趋于0，且 $x=0$ 是零测集。
步骤 4/5
目标：求 (2) 中 fn(x) 的极限函数
对于 $x \in (0, \frac{\pi}{2})$，$0 < \cos x < 1$。$f_n(x) = \cos x + \cos^2 x + \cdots + \cos^n x = \frac{\cos x (1 - \cos^n x)}{1 - \cos x}$。当 $n \to \infty$ 时，$\cos^n x \to 0$，故 $f(x) = \lim_{n\to\infty} f_n(x) = \frac{\cos x}{1 - \cos x}$。
公式：$$\sum_{k=1}^n q^k = \frac{q(1-q^n)}{1-q} \quad (q \neq 1)$$
提示：注意 $x \in (0, \pi/2)$ 时 $\cos x \neq 1$，分母不为零。
步骤 5/5
目标：判断 (2) 中 fn(x) 在 (0, π/2] 上的一致收敛性
考虑 $\sup_{x \in (0, \pi/2]} |f_n(x) - f(x)| = \sup_{x \in (0, \pi/2]} \frac{\cos^{n+1} x}{1 - \cos x}$。当 $x \to 0^+$ 时，$\cos x \to 1$，$1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$，$\cos^{n+1} x \to 1$，因此 $\frac{\cos^{n+1} x}{1 - \cos x} \to +\infty$。故上确界为 $+\infty$，不一致收敛。
公式：$$\sup_{x\in(0,\pi/2]} \frac{\cos^{n+1}x}{1-\cos x} = +\infty$$
提示：关键点在于 $x$ 趋近于 0 时，分母趋于 0 的速度比分子快，导致无界。
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