中册 6.2 函数列一致收敛性 第7题
📝 题目
7．讨论下列函数列在指定区间上的一致收敛性．
（1）$f_{n}(x)=n^{\alpha} x \mathrm{e}^{-n x}, n=1,2, \cdots, x \in[0,+\infty)$（或 $[0,1]$ ）．（陕西师大 2012 ，电子科技 2004 ，西安电子科技 2001，温州大学 2011，广西大学 2006，南京师大 2005，武汉理工 2005，桂林电子科技 2010，湖南大学 2004，湖南大学 2008，四川大学 2010，湖北大学 $2000 / 2011(\alpha=1)$ ，沈阳工大 $\left.2010\left(\alpha=2^{-1}\right)\right)$
（2）$f_{n}(x)=n x \mathrm{e}^{-n x}, n=1,2, \cdots$ ，（1）$x \in[0,1]$ ，（2）$x \in[1,+\infty)$ ．
（3）$f_{n}(x)=n x \mathrm{e}^{-n x^{2}}, n=1,2, \cdots, x \in[0,1]$ ．
（4）$f_{n}(x)=n^{\alpha} x \mathrm{e}^{-n x^{2}}, n \geqslant 1, x \in[0,1]$ ．
（5）$f_{n}(x)=x \mathrm{e}^{-n x^{2}}, n \geqslant 1, x \in[-l, l]$ ．
（6）$f_{n}(x)=n \mathrm{e}^{-n x^{2}}, n \geqslant 1, x \in(-\infty,+\infty)$ ．
（7）$f_{n}(x)=n^{2} x \mathrm{e}^{-n^{2} x^{2}}, n \geqslant 1, x \in(0,1)$ ．
（8）$f_{n}(x)=x^{n} \mathrm{e}^{-n^{2} x}, n \geqslant 1, x \in(0,+\infty)$ ．（沈阳 工 大 2009）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）$\forall \alpha$ ，当 $x=0$ 时，$f_{n}(x)=0, n=1,2, \cdots$ ．当 $01$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in(0,+\infty)}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} n^{\alpha-1} \mathrm{e}^{-1}=+\infty$ ，
所以当且仅当 $\alpha<1$ 时，$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,+\infty)$ 一致收敛于 $f(x)=0$ ．
$(2 \sim 8)$ 采用（1）相同的方法可得．
（2）$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 收敛于函数 $f(x)=0, x \in(0,+\infty)$ ．
因 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in[1,+\infty)}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(1)=\lim _{n \rightarrow \infty} n \mathrm{e}^{-n}=0$ ，故 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $[1,+\infty)$ 上一致收敛。
因 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in[0,1]}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}\left(n^{-1}\right)=\mathrm{e}^{-1}$ ，故 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间［ 0,1 ］上非一致收玫．
（3）极限函数 $f(x)=0, x \in[0,1]$ ．
因 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{0
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求极限函数
对于每个函数列，首先计算当 $n \to \infty$ 时，对于固定的 $x$，$f_n(x)$ 的极限。例如，对于 (1) $f_n(x)=n^\alpha x e^{-nx}$，当 $x=0$ 时 $f_n(0)=0$；当 $x>0$ 时，$\lim_{n\to\infty} n^\alpha x e^{-nx}=0$，故极限函数 $f(x)=0$。类似地，其他小题的极限函数均为 $0$。
公式：$$\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0$$
提示：注意 $x=0$ 时极限可能直接为0，无需计算。
步骤 2/5
目标：求函数列的最大值点
对 $f_n(x)$ 求导，令导数为零得到极值点。例如 (1) $f_n'(x)=n^\alpha e^{-nx}(1-nx)$，令 $f_n'(x)=0$ 得 $x=1/n$，且二阶导数负，故为最大值点。类似地，(3) $f_n(x)=nxe^{-nx^2}$ 求导得最大值点 $x=1/\sqrt{2n}$；(4) 最大值点 $x=1/\sqrt{2n}$；(5) 最大值点 $x=1/\sqrt{2n}$；(6) 最大值点 $x=0$；(7) 最大值点 $x=1/(\sqrt{2}n)$；(8) 最大值点 $x=1/\sqrt{2}$。
公式：$$f_n'(x)=0 \Rightarrow x_0$$
提示：注意定义域，最大值点必须在区间内，否则考虑端点。
步骤 3/5
目标：计算上确界
计算 $\sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)| = f_n(x_0)$（因为极限函数为0）。例如 (1) $f_n(1/n)=n^\alpha \cdot \frac{1}{n} e^{-1}=n^{\alpha-1}e^{-1}$；(3) $f_n(1/\sqrt{2n})=n\cdot \frac{1}{\sqrt{2n}} e^{-n\cdot\frac{1}{2n}}=\sqrt{\frac{n}{2}}e^{-1/2}$；(4) $f_n(1/\sqrt{2n})=n^\alpha \cdot \frac{1}{\sqrt{2n}} e^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{2}} n^{\alpha-1/2}e^{-1/2}$；(5) $f_n(1/\sqrt{2n})=\frac{1}{\sqrt{2n}} e^{-1/2}$；(6) $f_n(0)=n$；(7) $f_n(1/(\sqrt{2}n))=n^2\cdot\frac{1}{\sqrt{2}n}e^{-1/2}=\frac{n}{\sqrt{2}}e^{-1/2}$；(8) $f_n(1/\sqrt{2})=(1/\sqrt{2})^n e^{-n^2/2}$。
公式：$$\sup|f_n-f|=f_n(x_0)$$
提示：注意 (2) 在 $[0,1]$ 和 $[1,\infty)$ 上最大值点不同：$[0,1]$ 上最大值点 $x=1/n$（当 $n\ge1$ 时 $1/n\in[0,1]$），$[1,\infty)$ 上最大值在端点 $x=1$ 处。
步骤 4/5
目标：判断一致收敛性
根据一致收敛的定义，$\{f_n\}$ 在区间 $I$ 上一致收敛于 $f$ 当且仅当 $\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|=0$。对每个小题计算该极限：
(1) $\lim_{n\to\infty} n^{\alpha-1}e^{-1}=0$ 当且仅当 $\alpha<1$；
(2) 在 $[0,1]$ 上 $\lim_{n\to\infty} e^{-1}\neq0$，非一致收敛；在 $[1,\infty)$ 上 $\lim_{n\to\infty} n e^{-n}=0$，一致收敛；
(3) $\lim_{n\to\infty}\sqrt{n/2}e^{-1/2}=\infty$，非一致收敛；
(4) $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{2}} n^{\alpha-1/2}e^{-1/2}=0$ 当且仅当 $\alpha<1/2$；
(5) $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{2n}}e^{-1/2}=0$，一致收敛；
(6) $\lim_{n\to\infty} n=\infty$，非一致收敛；
(7) $\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{2}}e^{-1/2}=\infty$，非一致收敛；
(8) $\lim_{n\to\infty} (1/\sqrt{2})^n e^{-n^2/2}=0$，一致收敛。
公式：$$\lim_{n\to\infty}\sup|f_n-f|=0 \text{ 一致收敛}$$
提示：注意 (2) 在不同区间上结果不同，需分别讨论。
步骤 5/5
目标：总结结论
根据上述判断，总结每个小题的一致收敛性：
(1) 在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛当且仅当 $\alpha<1$；
(2) 在 $[0,1]$ 上非一致收敛，在 $[1,+\infty)$ 上一致收敛；
(3) 在 $[0,1]$ 上非一致收敛；
(4) 在 $[0,1]$ 上一致收敛当且仅当 $\alpha<1/2$；
(5) 在 $[-l,l]$ 上一致收敛；
(6) 在 $(-\infty,+\infty)$ 上非一致收敛；
(7) 在 $(0,1)$ 上非一致收敛；
(8) 在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛。
提示：注意参数范围对一致收敛性的影响。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。