中册 6.2 函数列一致收敛性 第8题
📝 题目
8．讨论下列函数列在指定区间的一致收玫性．
（1）$\displaystyle f_{n}(t)=\frac{\sin n t}{n \sqrt{t}}, n \geqslant 1, t \in(0,+\infty)$ ．
（2）$f_{n}(x)=\mathrm{e}^{-n^{2}|x|} \sin n x, n \geqslant 1, x \in(-\infty,+\infty)$ ．
（3）$f_{n}(x)=\mathrm{e}^{-n|x|} \cos x, n \geqslant 1, x \in(-\infty,+\infty)$ ．
（4）$f_{n}(x)=\mathrm{e}^{-n x^{2}} \cos x, n \geqslant 1, x \in[-1,1]$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）极限函数 $f(t)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(t)=0, t \in(0,+\infty)$ ．
$$
\sup _{0
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定极限函数
对于每个函数列，先求逐点极限。
(1) $f_n(t)=\frac{\sin nt}{n\sqrt{t}}$，当 $n\to\infty$ 时，$\frac{|\sin nt|}{n\sqrt{t}}\le\frac{1}{n\sqrt{t}}\to0$，故 $f(t)=0$。
(2) $f_n(x)=e^{-n^2|x|}\sin nx$，由于 $|e^{-n^2|x|}\sin nx|\le e^{-n^2|x|}\to0$，故 $f(x)=0$。
(3) $f_n(x)=e^{-n|x|}\cos x$，当 $x=0$ 时 $f_n(0)=1$；当 $x\neq0$ 时 $e^{-n|x|}\to0$，故 $f(x)=\begin{cases}1,&x=0\\0,&x\neq0\end{cases}$。
(4) $f_n(x)=e^{-nx^2}\cos x$，当 $x=0$ 时 $f_n(0)=1$；当 $x\neq0$ 时 $e^{-nx^2}\to0$，故 $f(x)=\begin{cases}1,&x=0\\0,&x\neq0\end{cases}$。
提示：注意 (3)(4) 的极限函数在 $x=0$ 处不连续，这可能导致不一致收敛。
步骤 2/5
目标：估计上确界（1）
对于 (1)，计算 $\sup_{t>0}|f_n(t)-0|=\sup_{t>0}\frac{|\sin nt|}{n\sqrt{t}}$。利用不等式 $|\sin nt|\le \sqrt{|\sin nt|}\le \sqrt{nt}$（因为 $|\sin u|\le |u|$），得 $\frac{|\sin nt|}{n\sqrt{t}}\le\frac{\sqrt{nt}}{n\sqrt{t}}=\frac{1}{\sqrt{n}}$。因此 $\sup_{t>0}|f_n(t)|\le\frac{1}{\sqrt{n}}\to0$，故一致收敛。
公式：$|\sin u|\le |u|$
提示：注意 $\sqrt{|\sin nt|}\le\sqrt{nt}$ 成立，但需确保 $nt\ge0$，这里 $t>0$ 成立。
步骤 3/5
目标：估计上确界（2）
对于 (2)，$|f_n(x)|=e^{-n^2|x|}|\sin nx|$。利用 $e^{-n^2|x|}\le\frac{1}{1+n^2|x|}$（因为 $e^y\ge1+y$），且 $|\sin nx|\le n|x|$，得 $|f_n(x)|\le\frac{n|x|}{1+n^2|x|}\le\frac{1}{n}$（因为函数 $g(y)=\frac{y}{1+y}$ 在 $y\ge0$ 上最大值小于1，但这里 $y=n^2|x|$，实际上 $\frac{n|x|}{1+n^2|x|}=\frac{1}{n}\cdot\frac{n^2|x|}{1+n^2|x|}\le\frac{1}{n}$）。因此 $\sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)|\le\frac{1}{n}\to0$，一致收敛。
公式：$e^{-y}\le\frac{1}{1+y}$ 对 $y\ge0$ 成立
提示：注意 $\frac{n|x|}{1+n^2|x|}\le\frac{1}{n}$ 的推导：令 $t=n^2|x|$，则 $\frac{n|x|}{1+n^2|x|}=\frac{1}{n}\cdot\frac{t}{1+t}\le\frac{1}{n}$。
步骤 4/5
目标：判断不一致收敛（3）
对于 (3)，考虑 $x_n=\frac{1}{n}$，则 $f_n(x_n)=e^{-n\cdot\frac{1}{n}}\cos\frac{1}{n}=e^{-1}\cos\frac{1}{n}\to e^{-1}\neq0$。而极限函数 $f(0)=1$，$f(x)=0$ 对 $x\neq0$，故 $\sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)-f(x)|\ge|f_n(x_n)-f(x_n)|=|e^{-1}\cos\frac{1}{n}-0|\to e^{-1}\neq0$，因此不一致收敛。
提示：选取点列 $x_n$ 使得 $f_n(x_n)$ 不趋于0，且 $x_n\neq0$，从而 $f(x_n)=0$。
步骤 5/5
目标：判断不一致收敛（4）
对于 (4)，每个 $f_n(x)=e^{-nx^2}\cos x$ 在 $[-1,1]$ 上连续，但极限函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不连续（$f(0)=1$，$f(x)=0$ 对 $x\neq0$）。由于一致收敛的连续函数列极限函数必连续，故 $\{f_n\}$ 在 $[-1,1]$ 上不一致收敛。
提示：利用一致收敛保持连续性这一性质，可快速判断。
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