中册 6.2 函数列一致收敛性 第9题
📝 题目
9．设 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{n x}{1+n^{2} x^{2}}, n=1,2, \cdots$ ，证明：（1）对任意的 $\alpha \in(0,1),\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[\alpha, 1]$ 上一致收敛于零；（2）$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上非一致收敛；（3）$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $(1+\infty)$ 上一致收敛．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
$\displaystyle \forall x \in[0,1], \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n x}{1+n^{2} x^{2}}=0$ ，极限函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=0$ ．
由 $\displaystyle f_{n}^{\prime}(x)=\frac{n\left(1-n^{2} x^{2}\right)}{\left(1+n^{2} x^{2}\right)^{2}}=0$ 得 $\displaystyle x=\frac{1}{n}$ 。当 $\displaystyle x \in\left[0, \frac{1}{n}\right)$ 时 $f_{n}^{\prime}(x)>0$ ，当 $\displaystyle x \in\left(\frac{1}{n}, 1\right]$ 时 $f_{n}^{\prime}(x)<0$ 。因此
（1）$\forall \alpha \in(0,1)$ ，当 $\displaystyle n>\frac{1}{\alpha}$ 时，有
$$
\sup _{x \in[\alpha, 1]}\left|f_{n}(x)-0\right|=\max _{x \in[\alpha, 1]} f_{n}(x)=f_{n}(\alpha)=\frac{n \alpha}{1+n^{2} \alpha^{2}} \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)
$$
所以 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[\alpha, 1]$ 上一致收玫于零．
（2）因为 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in[0,1]}\left|f_{n}(x)-0\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \max _{x \in[0,1]} f_{n}(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{2} \neq 0$ ，所以 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上非一致收玫．
（3）因为当 $x \in(1,+\infty)$ 时 $f_{n}^{\prime}(x)<0$ ，所以 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in(1,+\infty)}\left|f_{n}(x)-0\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{1+n^{2}}=0$ ．故 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $(1,+\infty)$ 上一致收敛。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求极限函数
对任意固定的 $x \in [0,1]$，计算极限：$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{nx}{1+n^2 x^2} = 0$。因此极限函数 $f(x) = 0$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \frac{nx}{1+n^2 x^2} = 0$
提示：注意 $x=0$ 时分子为0，极限为0；$x>0$ 时分子分母同除以 $n^2$ 可得极限0。
步骤 2/5
目标：分析函数单调性
求导：$f_n'(x) = \frac{n(1-n^2 x^2)}{(1+n^2 x^2)^2}$。令 $f_n'(x)=0$ 得 $x = \frac{1}{n}$。当 $0 \le x < \frac{1}{n}$ 时 $f_n'(x) > 0$，函数递增；当 $x > \frac{1}{n}$ 时 $f_n'(x) < 0$，函数递减。因此 $f_n$ 在 $x = \frac{1}{n}$ 处取得最大值 $f_n(\frac{1}{n}) = \frac{1}{2}$。
公式：$f_n'(x) = \frac{n(1-n^2 x^2)}{(1+n^2 x^2)^2}$
提示：求导时注意复合函数求导，分母平方。
步骤 3/5
目标：证明在 $[\alpha, 1]$ 上一致收敛
对任意 $\alpha \in (0,1)$，当 $n > \frac{1}{\alpha}$ 时，$\frac{1}{n} < \alpha$，因此 $f_n$ 在 $[\alpha, 1]$ 上单调递减，最大值在左端点 $x=\alpha$ 处取得。于是 $\sup_{x \in [\alpha,1]} |f_n(x)-0| = f_n(\alpha) = \frac{n\alpha}{1+n^2\alpha^2} \to 0$ 当 $n \to \infty$。故一致收敛。
公式：$\sup_{x \in [\alpha,1]} |f_n(x)| = \frac{n\alpha}{1+n^2\alpha^2}$
提示：注意 $n$ 足够大时才能保证 $\frac{1}{n} < \alpha$，从而最大值在端点。
步骤 4/5
目标：证明在 $[0,1]$ 上非一致收敛
计算 $\sup_{x \in [0,1]} |f_n(x)-0| = \max_{x \in [0,1]} f_n(x) = f_n(\frac{1}{n}) = \frac{1}{2}$。由于 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq 0$，因此不一致收敛。
公式：$\sup_{x \in [0,1]} |f_n(x)| = \frac{1}{2}$
提示：最大值点 $x=1/n$ 随 $n$ 变化，且最大值恒为 $1/2$，不趋于0。
步骤 5/5
目标：证明在 $(1, +\infty)$ 上一致收敛
当 $x > 1$ 时，$f_n'(x) < 0$（因为 $1-n^2 x^2 < 0$），所以 $f_n$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递减，最大值在左端点 $x=1$ 处取得。于是 $\sup_{x \in (1,+\infty)} |f_n(x)-0| = f_n(1) = \frac{n}{1+n^2} \to 0$ 当 $n \to \infty$。故一致收敛。
公式：$\sup_{x \in (1,+\infty)} |f_n(x)| = \frac{n}{1+n^2}$
提示：注意区间是开区间 $(1,+\infty)$，但上确界在 $x=1$ 处取得，因为函数递减。
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