中册 6.2 函数列一致收敛性 第10题

\section*{解题过程：} （1）极限函数 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1+n x}=0, \forall x \in(0,1)$ ． 方法 1：对 $\displaystyle \varepsilon_{0}=\frac{1}{2}>0, \forall N, \exists n=N+1>N$ ，取 $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{n} \in(0,1)$ ，有 $\displaystyle \left|f_{n}\left(x_{n}\right)-f\left(x_{n}\right)\right|=\frac{1}{2}=\varepsilon_{0}$ ，所以 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $(0,1)$ 非一致收敛。 方法 2：因为 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in(0,1)}\left|f_{n}(x)-0\right|=1$ ，所以 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $(0,1)$ 上非一致收敛。 （2）极限函数 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x}{\frac{1}{n}+x}=1, \forall x \in(0,1)$ ． 方法 1：$\displaystyle \exists \varepsilon_{0}=\frac{1}{2}>0, \forall N$ ，取 $\displaystyle n=N+1>N, x_{n}=\frac{1}{n} \in(0,1)$ ，有 $$ \left|f_{n}\left(x_{n}\right)-f\left(x_{n}\right)\right|=\left|\frac{n x_{n}}{1+n x_{n}}-1\right|=\left|\frac{1}{1+1}-1\right|=\frac{1}{2}=\varepsilon_{0} $$ 所以 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{n x}{1+n x}$ 在 $(0,1)$ 上非一致收玫． 方法 2：因为 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in(0,1)}\left|f_{n}(x)-0\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{2}$ ，所以 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $(0,1)$ 上非一致收玫。 （3）极限函数 $\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=0=f(x), x \in(-\infty,+\infty)$ ． 因 $\displaystyle \sup _{x \in(-\infty,+\infty)}\left|f_{n}(\dot{x})-f(x)\right|=\sup _{x \in(-\infty,+\infty)} \frac{|x|}{1+n^{2}|x|^{2}} \leqslant \frac{1}{2 n}$ ，故 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in \mathbf{R}}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=0$ 。所以 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛． 对 $\forall x \in(-\infty,+\infty)$ 有 $\displaystyle f_{n}^{\prime}(x)=\frac{1-n^{2} x^{2}}{\left(1+n^{2} x^{2}\right)^{2}}$ ，从而 $g(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x=0, \\ 0, x \neq 0 \text { ．}\end{array}\right.$ 由于 $\left\{f_{n}^{\prime}(x)\right\}$ 的极限函数在 $(-\infty,+\infty)$ 上不连续，而每项 $f_{n}^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，因此 $\left\{f_{n}^{\prime}(x)\right\}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上非一致收敛。 （4）极限函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=0, x \in(0,+\infty)$ ． 由于 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in(0,+\infty)}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in(0,+\infty)}\left|\frac{x}{1+n^{3} x^{3}}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2}{3 \sqrt[3]{2} n}=0$ ，因此 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛于 0 。特别地，$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $(0,1]$ 上也一致收敛于 0 。于是对 $\forall \varepsilon>0, \exists N_{1}$ ，当 $n>N_{1}$ 时有 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right|<\frac{\varepsilon}{2}$ 。 又由于 $$ \left|\int_{0}^{+\infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x\right|=\left|\int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x+\int_{1}^{+\infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \int_{0}^{1}\left|f_{n}(x)\right| \mathrm{d} x+\int_{1}^{+\infty} \frac{x}{n^{3} x^{3}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1}\left|f_{n}(x)\right| \mathrm{d} x+\frac{1}{n^{3}} . $$ 令 $\displaystyle N=\max \left\{N_{1}, \sqrt[3]{\frac{2}{\varepsilon}}\right\}$ ，则当 $n>N$ 时有 $\displaystyle \left|\int_{0}^{+\infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$ ．由此知 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{+\infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x=0$ ． （5）极限函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=\arctan x, x \in(-\infty,+\infty)$ ． 由微分中值定理，对任意 $x \in(-\infty,+\infty)$ 和正整数 $n$ 有 $$ \left|f_{n}(x)-f(x)\right|=\left|\arctan \left(x+\frac{1}{n}\right)-\arctan x\right|=\frac{1}{1+\xi^{2}} \frac{1}{n}<\frac{1}{n}, \quad \xi \in\left(x, x+\frac{1}{n}\right) . $$ 于是 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in(-\infty,+\infty)}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=0$ 。所以 $\displaystyle f_{n}(x)=\arctan \left(x+\frac{1}{n}\right)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收玫。