中册 6.2 函数列一致收敛性 第11题
📝 题目
11．设 $\displaystyle f_{n}(x)=\left\{\begin{array}{l}1-n x, 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{n}, \\ 0, \frac{1}{n} \leqslant x \leqslant 1,\end{array}\right.$ ，证 明：$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $(0,1)$ 上非 一 致 收 敛，但
$\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
因 $f_{n}(0)=1$ ，所以 $f(0)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(0)=1$ ．当 $0\frac{1}{x}$ ，就有 $f_{n}(x)=0$ ，因此 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=0$ 。从而 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}0,0
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求极限函数 f(x)
首先，对于 $x=0$，有 $f_n(0)=1$，所以 $f(0)=\lim_{n\to\infty}f_n(0)=1$。对于 $0\frac{1}{x}$ 时，$\frac{1}{n}
提示：注意 $x=0$ 和 $x>0$ 的情况要分开讨论，因为 $f_n$ 的定义在 $x=0$ 处始终为1。
步骤 2/6
目标：证明非一致收敛
计算 $\sup_{x\in(0,1)}|f_n(x)-f(x)|$。由于 $f(x)=0$ 在 $(0,1)$ 上，而 $f_n(x)$ 在 $[0,\frac{1}{n}]$ 上从1线性下降到0，在 $[\frac{1}{n},1]$ 上为0，所以最大值在 $x=0$ 处取得，但 $x=0$ 不在 $(0,1)$ 内。考虑 $x\to 0^+$，$|f_n(x)-f(x)|$ 可以无限接近1，因此 $\sup_{x\in(0,1)}|f_n(x)-f(x)|=1$，不趋于0，故非一致收敛。
公式：一致收敛的充要条件：$\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in D}|f_n(x)-f(x)|=0$
提示：注意定义域是开区间 $(0,1)$，端点0不在内，但上确界仍为1。
步骤 3/6
目标：计算积分 $\int_0^1 f_n(x) dx$
根据 $f_n(x)$ 的分段定义，积分区间分为 $[0,\frac{1}{n}]$ 和 $[\frac{1}{n},1]$。在 $[0,\frac{1}{n}]$ 上，$f_n(x)=1-nx$，积分得 $\int_0^{1/n}(1-nx)dx = \left[x-\frac{n}{2}x^2\right]_0^{1/n} = \frac{1}{n} - \frac{n}{2}\cdot\frac{1}{n^2} = \frac{1}{n} - \frac{1}{2n} = \frac{1}{2n}$。在 $[\frac{1}{n},1]$ 上，$f_n(x)=0$，积分为0。故 $\int_0^1 f_n(x)dx = \frac{1}{2n}$。
公式：$\int_0^{1/n}(1-nx)dx = \frac{1}{2n}$
提示：注意积分限和分段函数的处理，不要遗漏区间。
步骤 4/6
目标：计算极限 $\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n(x) dx$
由 $\int_0^1 f_n(x)dx = \frac{1}{2n}$，取极限得 $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n}=0$。
提示：直接代入极限即可。
步骤 5/6
目标：计算 $\int_0^1 \lim_{n\to\infty} f_n(x) dx$
极限函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处为1，在 $(0,1]$ 上为0。由于单点不影响积分值，$\int_0^1 f(x)dx = \int_0^1 0\,dx = 0$。
提示：注意 $f(x)$ 在 $x=0$ 处为1，但积分区间包含0，但单点测度为0，不影响积分值。
步骤 6/6
目标：比较两个极限并得出结论
由步骤4和5，$\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n(x)dx = 0$，$\int_0^1 \lim_{n\to\infty} f_n(x)dx = 0$，因此两者相等，即 $\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n(x)dx = \int_0^1 \lim_{n\to\infty} f_n(x)dx$。
提示：虽然函数列非一致收敛，但积分与极限可交换，这是因为函数列在区间上一致有界且逐点收敛于几乎处处连续的函数。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。