中册 6.2 函数列一致收敛性 第12题
📝 题目
12．讨论下列函数列在指定区间上的一致收敛性．
（1）$\displaystyle f_{n}(x)=\frac{\alpha^{n} x}{1+n \alpha^{n} x^{2}},(\alpha>0), n=1,2, \cdots$ ．（1）$x \in(-\infty,+\infty)$ ；（2）$x \in(-\infty, \delta) \cup(\delta,+\infty), \delta>0$ ．
（2）$\displaystyle f_{n}(x)=\frac{x^{n}}{1+x^{n}}, n=1,2, \cdots$ ．（1）$x \in[0,1-\varepsilon]$ ；（2）$x \in[1-\varepsilon, 1+\varepsilon]$ ；（3）$x \in[1+\varepsilon,+\infty), \varepsilon \in(0,1)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）当 $x=0$ 时，对 $\forall n, \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(0)=0$ ；当 $x \neq 0$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=0$ ．极限函数 $f(x)=0$ ， $x \in(-\infty,+\infty)$ ．
记 $I=(-\infty, \delta) \cup(\delta,+\infty)$ ．
（I）当 $\alpha>1$ 时，
由于 $\displaystyle \sup _{x \in \mathbf{R}}\left|f_{n}(x)-f(x)\right| \geqslant f_{n}\left(\frac{1}{\alpha^{n}}\right) \rightarrow 1 \neq 0(n \rightarrow \infty)$ ，故 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上非一致收敛．
又因 $\displaystyle \sup _{x \in I}\left|f_{n}(x)-f(x)\right| \leqslant \frac{\alpha^{n}|x|}{1+n \alpha^{n} x^{2}} \leqslant \frac{1}{n \delta} \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)$ ，故 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $I$ 上一致收敛．
（2）当 $0<\alpha \leqslant 1$ 时，
由于 $\displaystyle \sup _{x \in \mathbf{R}}\left|f_{n}(x)-f(x)\right| \leqslant \frac{\alpha^{\frac{n}{2}}}{2 \sqrt{n}} \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)$ ，故 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 一致收玫．
由于 $\displaystyle \sup _{x \in I}\left|f_{n}(x)-f(x)\right| \leqslant \frac{\alpha^{n}|x|}{1+n \alpha^{n} x^{2}} \leqslant \frac{1}{n \delta} \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)$ ，故 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $I$ 上一致收玫。
（2）极限函数 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{n}}{x^{n}+1}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x^{n}+1}\right)=\left\{\begin{array}{l}0, x \in[0,1), \\ \frac{1}{2}, x=1, \\ 1, x>1 .\end{array}\right.$
（1）当 $x \in[0,1-\varepsilon]$ 时，因 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in[0,1-\varepsilon]}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{(1-\varepsilon)^{n}+1}\right)=0$ ，故 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在
$[0,1-\varepsilon]$ 上一致收敛．
（2）当 $1-\varepsilon \leqslant x \leqslant 1+\varepsilon$ 时，因极限函数不连续，而每个 $f_{n}(x)$ 连续，因此 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[1-\varepsilon, 1+\varepsilon]$ 上非一致收敛。
（3）当 $1+\varepsilon \leqslant x<\infty$ 时，由于 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in\{1+\varepsilon,+\infty\}}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{(1+\varepsilon)^{n}+1}=0$ ，因此 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $1+\varepsilon \leqslant x<+\infty$ 上一致收敛。
📋 详细解题步骤
步骤 1/9
目标：求极限函数
对于第一问，当 $x=0$ 时，$f_n(0)=0$，故极限为0。当 $x\neq 0$ 时，由于 $\alpha>0$，$\lim_{n\to\infty} \frac{\alpha^n x}{1+n\alpha^n x^2}=0$，因此极限函数 $f(x)=0$ 对一切 $x\in(-\infty,+\infty)$ 成立。
公式：$\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0$
提示：注意 $x=0$ 时直接代入，$x\neq0$ 时分子分母同除以 $\alpha^n$ 或利用 $\alpha^n$ 增长快于 $n$ 的结论。
步骤 2/9
目标：讨论 $\alpha>1$ 时在 $\mathbb{R}$ 上的一致收敛性
取 $x_n=\frac{1}{\alpha^n}$，则 $f_n(x_n)=\frac{\alpha^n \cdot \frac{1}{\alpha^n}}{1+n\alpha^n \cdot \frac{1}{\alpha^{2n}}}=\frac{1}{1+\frac{n}{\alpha^n}}\to 1$，故 $\sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)-0|\geq f_n(x_n)\to 1\neq 0$，所以非一致收敛。
公式：$\sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)-f(x)|\geq f_n\left(\frac{1}{\alpha^n}\right)\to 1$
提示：选取合适的点 $x_n$ 使得 $f_n(x_n)$ 不趋于0是关键。
步骤 3/9
目标：讨论 $\alpha>1$ 时在 $I=(-\infty,\delta)\cup(\delta,+\infty)$ 上的一致收敛性
对任意 $x\in I$，$|x|\geq\delta$，则 $|f_n(x)|=\frac{\alpha^n|x|}{1+n\alpha^n x^2}\leq \frac{\alpha^n|x|}{n\alpha^n x^2}=\frac{1}{n|x|}\leq \frac{1}{n\delta}\to 0$，且与 $x$ 无关，故一致收敛。
公式：$|f_n(x)|\leq \frac{1}{n|x|}\leq \frac{1}{n\delta}$
提示：注意 $|x|\geq\delta$ 时放缩分母中的 $1$ 和 $n\alpha^n x^2$ 项。
步骤 4/9
目标：讨论 $0<\alpha\leq 1$ 时在 $\mathbb{R}$ 上的一致收敛性
对任意 $x\in\mathbb{R}$，$|f_n(x)|=\frac{\alpha^n|x|}{1+n\alpha^n x^2}$。令 $t=\sqrt{n}\alpha^{n/2}|x|$，则 $|f_n(x)|\leq \frac{\alpha^{n/2}}{2\sqrt{n}}$（利用 $\frac{t}{1+t^2}\leq \frac12$），而 $\frac{\alpha^{n/2}}{2\sqrt{n}}\to 0$，故一致收敛。
公式：$|f_n(x)|\leq \frac{\alpha^{n/2}}{2\sqrt{n}}$
提示：注意 $\alpha\leq 1$ 时 $\alpha^{n/2}\to 0$，但 $\sqrt{n}$ 增长慢，整体趋于0。
步骤 5/9
目标：讨论 $0<\alpha\leq 1$ 时在 $I$ 上的一致收敛性
与 $\alpha>1$ 时类似，$|f_n(x)|\leq \frac{1}{n|x|}\leq \frac{1}{n\delta}\to 0$，故一致收敛。
公式：$|f_n(x)|\leq \frac{1}{n\delta}$
提示：此步与 $\alpha$ 无关，只要 $|x|\geq\delta$ 即可。
步骤 6/9
目标：求第二问的极限函数
当 $0\leq x<1$ 时，$x^n\to 0$，故 $f_n(x)\to 0$；当 $x=1$ 时，$f_n(1)=\frac{1}{2}$；当 $x>1$ 时，$x^n\to +\infty$，故 $f_n(x)\to 1$。因此极限函数 $f(x)=\begin{cases}0,&0\leq x<1\\ \frac12,&x=1\\ 1,&x>1\end{cases}$。
公式：$f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{x^n}{1+x^n}$
提示：注意 $x=1$ 是间断点，极限函数不连续。
步骤 7/9
目标：讨论 $[0,1-\varepsilon]$ 上的一致收敛性
在 $[0,1-\varepsilon]$ 上，$x\leq 1-\varepsilon<1$，$f(x)=0$。$\sup_{x\in[0,1-\varepsilon]}|f_n(x)-0|=\frac{(1-\varepsilon)^n}{1+(1-\varepsilon)^n}\to 0$，故一致收敛。
公式：$\sup|f_n(x)-f(x)|=\frac{(1-\varepsilon)^n}{1+(1-\varepsilon)^n}\to 0$
提示：最大值在端点 $x=1-\varepsilon$ 处取得。
步骤 8/9
目标：讨论 $[1-\varepsilon,1+\varepsilon]$ 上的一致收敛性
极限函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处不连续，而每个 $f_n(x)$ 连续，由一致收敛保持连续性知，$\{f_n\}$ 在包含 $1$ 的区间上非一致收敛。
提示：利用连续函数列一致收敛极限必连续的性质。
步骤 9/9
目标：讨论 $[1+\varepsilon,+\infty)$ 上的一致收敛性
在 $[1+\varepsilon,+\infty)$ 上，$x\geq 1+\varepsilon>1$，$f(x)=1$。$\sup_{x\geq 1+\varepsilon}|f_n(x)-1|=\frac{1}{1+(1+\varepsilon)^n}\to 0$，故一致收敛。
公式：$\sup|f_n(x)-f(x)|=\frac{1}{1+(1+\varepsilon)^n}\to 0$
提示：最大值在 $x=1+\varepsilon$ 处取得。
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