中册 6.2 函数列一致收敛性 第13题
📝 题目
13．讨论下列函数列在指定区间上的一致收敛性．
（1）$\displaystyle f_{n}(x)=\frac{x(\ln n)^{\alpha}}{n^{x}}, n=1,2, \cdots, x \in[0,+\infty)$ ．
（2）$\displaystyle f_{n}(x)=\frac{x}{n} \ln \frac{x}{n}, n=1,2, \cdots, x \in(0,1)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）$\forall \alpha$ ，当 $x=0$ 时，$\forall n, f_{n}(x)=0$ ，当 $x \in(0,+\infty)$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=0$ ．故极限函数 $f(x)=0$ ， $x \in[0,+\infty)$ ．
对任意固定的 $\displaystyle n, f_{n}^{\prime}(x)=\frac{n^{x}(\ln n)^{\alpha}(1-x \ln n)}{n^{2 x}}$ ．当 $\displaystyle x<\frac{1}{\ln n}$ 时，$f_{n}(x)$ 严格增加，当 $\displaystyle x>\frac{1}{\ln n}$时，$f_{n}(x)$ 严格减少，所以 $f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle x=\frac{1}{\ln n}$ 取最大值 $\displaystyle f_{n}\left(\frac{1}{\ln n}\right)=(\ln n)^{\alpha-1} \mathrm{e}^{-1}$ ．因而，
$$
\sup _{x \in(0,+\infty)}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=f_{n}\left(\frac{1}{\ln n}\right)=\frac{(\ln n)^{\alpha-1}}{n^{\frac{1}{\ln n}}}=\frac{(\ln n)^{\alpha-1}}{\left(\mathrm{e}^{\ln n}\right)^{\frac{1}{\ln n}}}=\frac{1}{\mathrm{e}}(\ln n)^{\alpha-1}\left\{\begin{array}{l}
\rightarrow 0, \alpha<1 \\
\rightarrow \mathrm{e}^{-1}, \alpha=1 \\
\rightarrow+\infty, \alpha>1
\end{array}\right.
$$
当 $\alpha<1$ 时，因 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{0
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：求极限函数
对于第(1)题，当$x=0$时，$f_n(0)=0$；当$x>0$时，$
\lim_{n\to\infty} f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{x(\ln n)^\alpha}{n^x}=0$，因为$n^x$增长快于$(\ln n)^\alpha$。故极限函数$f(x)=0$，$x\in[0,+\infty)$。
提示：注意$x=0$单独处理，但结果一致。
步骤 2/7
目标：求函数列的最大值点
对固定的$n$，求导$f_n'(x)=\frac{(\ln n)^\alpha (n^x - x n^x \ln n)}{n^{2x}}=\frac{(\ln n)^\alpha (1-x\ln n)}{n^x}$。令$f_n'(x)=0$得$x=\frac{1}{\ln n}$。当$x<\frac{1}{\ln n}$时$f_n'(x)>0$，$x>\frac{1}{\ln n}$时$f_n'(x)<0$，故$x=\frac{1}{\ln n}$是最大值点。
公式：$f_n'(x)=\frac{(\ln n)^\alpha (1-x\ln n)}{n^x}$
提示：求导时注意$n^x$的导数为$n^x\ln n$。
步骤 3/7
目标：计算最大值
最大值$f_n\left(\frac{1}{\ln n}\right)=\frac{\frac{1}{\ln n}(\ln n)^\alpha}{n^{1/\ln n}}=\frac{(\ln n)^{\alpha-1}}{e^{\ln n \cdot \frac{1}{\ln n}}}=\frac{(\ln n)^{\alpha-1}}{e}$。
公式：$\sup_{x\in[0,+\infty)}|f_n(x)-f(x)|=\frac{1}{e}(\ln n)^{\alpha-1}$
提示：注意$n^{1/\ln n}=e$。
步骤 4/7
目标：讨论一致收敛性
当$\alpha<1$时，$(\ln n)^{\alpha-1}\to 0$，故$\sup|f_n-f|\to 0$，一致收敛；当$\alpha=1$时，$\sup|f_n-f|\to 1/e\neq 0$，非一致收敛；当$\alpha>1$时，$\sup|f_n-f|\to +\infty$，非一致收敛。
提示：一致收敛的充要条件是$\sup$趋于0。
步骤 5/7
目标：第(2)题求极限函数
对于$x\in(0,1)$，$\lim_{n\to\infty}\frac{x}{n}\ln\frac{x}{n}=0$，因为$\frac{x}{n}\to 0$且$\ln\frac{x}{n}\to -\infty$，但乘积趋于0。故极限函数$f(x)=0$。
提示：可用洛必达法则或已知极限$\lim_{t\to 0^+}t\ln t=0$。
步骤 6/7
目标：求函数列单调性
对$f_n(x)=\frac{x}{n}\ln\frac{x}{n}$求导：$f_n'(x)=\frac{1}{n}\ln\frac{x}{n}+\frac{1}{n}=\frac{1}{n}\left(\ln\frac{x}{n}+1\right)$。令$f_n'(x)=0$得$x=n/e$。当$n\ge 3$时，$n/e>1$，故在$(0,1)$上$f_n'(x)<0$，函数严格递减。
公式：$f_n'(x)=\frac{1}{n}\left(\ln\frac{x}{n}+1\right)$
提示：注意定义域$(0,1)$，$n/e>1$时导数恒负。
步骤 7/7
目标：计算上确界并判断一致收敛
由于$f_n(x)$在$(0,1)$上递减，且$f_n(1)=\frac{1}{n}\ln\frac{1}{n}$，$f_n(0^+)=0$，故$\sup_{x\in(0,1)}|f_n(x)-0|=\max\{|f_n(1)|,0\}=\left|\frac{1}{n}\ln\frac{1}{n}\right|$。而$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\ln\frac{1}{n}=0$，所以一致收敛。
公式：$\sup_{x\in(0,1)}|f_n(x)|=\frac{1}{n}\ln\frac{1}{n}$
提示：注意端点$x=1$处函数值绝对值最大。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。