中册 6.2 函数列一致收敛性 第14题
📝 题目
14．设 $x \leqslant f_{1}(x) \leqslant \sqrt{x}, f_{n}(x)=\sqrt{x f_{n-1}(x)}, x \in[0,1], n=1,2, \cdots$ ．证明：（1）$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 为单调有界数列；（2）$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由已知得 $\displaystyle x \leqslant f_{n}(x) \leqslant x^{1-\frac{1}{2^{n}}}$ ．于是极限函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=x, x \in[0,1]$ ．
记 $\displaystyle g_{n}(x)=x^{1-\frac{1}{2^{n}}}-x, x \in[0,1]$ ．由 $\displaystyle g_{n}^{\prime}(x)=\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right) x^{-\frac{1}{2^{n}}}-1=0$ 得 $g_{n}(x)$ 的最大值点 $\displaystyle x_{n}=1-\frac{1}{2^{n}}$ 和最大值 $\displaystyle g_{n}\left(x_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}-1}\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)^{2^{n}}$ ．于是
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in[0,1]}\left|f_{n}(x)-f(x)\right| \leqslant \lim _{n \rightarrow \infty} \max _{x \in[0,1]} g_{n}(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} g_{n}\left(x_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^{n}-1}\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)^{2^{n}}=0 \cdot \mathrm{e}^{-1}=0
$$
因此 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立递推关系并推导上界
由已知条件，$x \leq f_1(x) \leq \sqrt{x}$。假设 $x \leq f_{n-1}(x) \leq x^{1-\frac{1}{2^{n-1}}}$，则 $f_n(x) = \sqrt{x f_{n-1}(x)}$。由于 $f_{n-1}(x) \geq x$，有 $f_n(x) \geq \sqrt{x \cdot x} = x$；又 $f_{n-1}(x) \leq x^{1-\frac{1}{2^{n-1}}}$，故 $f_n(x) \leq \sqrt{x \cdot x^{1-\frac{1}{2^{n-1}}}} = x^{1-\frac{1}{2^n}}$。由数学归纳法，对所有 $n$ 有 $x \leq f_n(x) \leq x^{1-\frac{1}{2^n}}$。
公式：f_n(x) = \sqrt{x f_{n-1}(x)}
提示：注意归纳假设的运用，上界指数形式要准确。
步骤 2/6
目标：证明单调性
考虑 $f_{n+1}(x) - f_n(x)$。由递推，$f_{n+1}(x) = \sqrt{x f_n(x)}$，$f_n(x) = \sqrt{x f_{n-1}(x)}$。由于 $f_n(x) \geq f_{n-1}(x)$（归纳假设），则 $f_{n+1}(x) \geq \sqrt{x f_{n-1}(x)} = f_n(x)$。因此 $\{f_n(x)\}$ 单调递增。
提示：单调性证明需利用递推和归纳，注意比较 $f_n$ 与 $f_{n-1}$。
步骤 3/6
目标：证明有界性
由第一步，$f_n(x) \leq x^{1-\frac{1}{2^n}} \leq 1$（因为 $x \in [0,1]$），且 $f_n(x) \geq x \geq 0$，故 $\{f_n(x)\}$ 有界。
提示：有界性直接由上界得到，注意 $x^{1-\frac{1}{2^n}}$ 在 $[0,1]$ 上不超过1。
步骤 4/6
目标：确定极限函数
由单调有界定理，$\{f_n(x)\}$ 逐点收敛。对递推式两边取极限，设 $f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)$，则 $f(x)=\sqrt{x f(x)}$，解得 $f(x)=x$（$f(x)=0$ 也满足，但由 $f_n(x)\geq x$ 得 $f(x)\geq x$，故 $f(x)=x$）。
公式：f(x) = \sqrt{x f(x)}
提示：注意解方程时舍去 $f(x)=0$ 的理由。
步骤 5/6
目标：构造上界函数并求最大值
记 $g_n(x)=x^{1-\frac{1}{2^n}}-x$，则 $|f_n(x)-f(x)| \leq g_n(x)$。求 $g_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值。求导：$g_n'(x)=\left(1-\frac{1}{2^n}\right)x^{-\frac{1}{2^n}}-1$。令导数为0得 $x_n=\left(1-\frac{1}{2^n}\right)^{2^n}$。计算最大值 $g_n(x_n)=\frac{1}{2^n-1}\left(1-\frac{1}{2^n}\right)^{2^n}$。
公式：g_n(x)=x^{1-\frac{1}{2^n}}-x
提示：求导时注意指数运算，最大值点需验证。
步骤 6/6
目标：证明一致收敛
计算极限：$\lim_{n\to\infty} \sup_{x\in[0,1]} |f_n(x)-f(x)| \leq \lim_{n\to\infty} g_n(x_n) = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^n-1}\left(1-\frac{1}{2^n}\right)^{2^n} = 0 \cdot e^{-1} = 0$。因此 $\{f_n(x)\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛于 $f(x)=x$。
公式：\lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{2^n}\right)^{2^n}=e^{-1}
提示：注意极限 $\left(1-\frac{1}{2^n}\right)^{2^n} \to e^{-1}$，以及 $\frac{1}{2^n-1}\to 0$。
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