中册 6.2 函数列一致收敛性 第15题
📝 题目
15．若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，$f(x)>0, g_{n}(x)=\sqrt[n]{f(x)}, n=1,2, \cdots$ ．证明：$\left\{g_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于1．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
因为 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 连续，故 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上存在最大值 $M$ 和最小值 $m$ ，即
$$
m \leqslant f(x) \leqslant M, x \in[a, b]
$$
所以 $\sqrt[n]{m} \leqslant \sqrt[n]{f(x)} \leqslant \sqrt[n]{M}$ 。于是 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{f(x)}=1$ 。由 $\sqrt[n]{m}-1 \leqslant \sqrt[n]{f(x)}-1 \leqslant \sqrt[n]{M}-1$ 得
$$
|\sqrt[n]{f(x)}-1| \leqslant \max \{|\sqrt[n]{M}-1|,|\sqrt[n]{m}-1|\}
$$
于是 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in[a, b]}|\sqrt[n]{f(x)}-1|=0$ ，所以函数列 $\{\sqrt[n]{f(x)}\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收玫于 1 ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用连续函数性质得到最值
因为 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，所以 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上存在最大值 $M$ 和最小值 $m$，且 $f(x)>0$，故 $m>0$。于是对任意 $x\in[a,b]$，有 $m \leq f(x) \leq M$。
提示：注意 $f(x)>0$ 保证 $m>0$，否则开方可能无定义。
步骤 2/6
目标：对不等式开n次方
对不等式 $m \leq f(x) \leq M$ 开 $n$ 次方（$n$ 为正整数），得到 $\sqrt[n]{m} \leq \sqrt[n]{f(x)} \leq \sqrt[n]{M}$。
提示：开方时保持不等号方向不变，因为 $n$ 次方根函数单调递增。
步骤 3/6
目标：求极限得到逐点收敛
由于 $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{m}=1$ 且 $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{M}=1$，由夹逼定理，对每个固定的 $x$，有 $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{f(x)}=1$。因此函数列 $\{g_n(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上逐点收敛于 $1$。
公式：$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{c}=1,\quad c>0$$
提示：注意 $c>0$ 时 $\sqrt[n]{c}\to1$，这是常用极限。
步骤 4/6
目标：估计一致收敛的误差界
由 $\sqrt[n]{m} \leq \sqrt[n]{f(x)} \leq \sqrt[n]{M}$，减去 $1$ 得 $\sqrt[n]{m}-1 \leq \sqrt[n]{f(x)}-1 \leq \sqrt[n]{M}-1$。因此 $|\sqrt[n]{f(x)}-1| \leq \max\{|\sqrt[n]{M}-1|, |\sqrt[n]{m}-1|\}$。
提示：注意绝对值不等式的推导：$a\leq b\leq c$ 时，$|b|\leq\max\{|a|,|c|\}$ 不一定成立，但这里 $a$ 和 $c$ 同号（因为 $\sqrt[n]{m}\leq1\leq\sqrt[n]{M}$ 或反之），所以可以这样估计。
步骤 5/6
目标：证明上确界趋于0
令 $\varepsilon_n = \max\{|\sqrt[n]{M}-1|, |\sqrt[n]{m}-1|\}$，则 $\sup_{x\in[a,b]}|\sqrt[n]{f(x)}-1| \leq \varepsilon_n$。由于 $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{M}=1$ 且 $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{m}=1$，故 $\lim_{n\to\infty}\varepsilon_n=0$。因此 $\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in[a,b]}|g_n(x)-1|=0$。
提示：一致收敛的定义是 $\sup$ 趋于0，这里通过放缩得到上界趋于0。
步骤 6/6
目标：得出结论
由一致收敛的定义，$\{g_n(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $1$。
提示：注意一致收敛与逐点收敛的区别：这里证明了对所有 $x$ 同时成立。
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