中册 6.2 函数列一致收敛性 第16题
📝 题目
16．设函数 $f_{0}(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，且 $f_{n}(x)=\int_{a}^{x} f_{n-1}(t) \mathrm{d} t, x \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ，证明：$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 0 ．（重庆大学 2014／2011，山东师大 2013，中南大学 2010，中山大学 2005（A），上海大学 2005，河南师大 2008，西北大学 2001／2009，南京理工 2004，湖南大学 2002／2003，西南大学 2003，清华大学 2003，天津大学 2001 ，兰州大学 2006 ，地质大学 2005 ，沈阳 工 2010 ，南京农大 2007，南京财大 2007，华南理工 2006，北京工大 2005，北航 1998／1999／2001，大连海事 2005，河海大学 2007，湖南师大 2005／2013，陕西师大1999，首都师大2012，西南交大2005／2006，新疆大学2004，郑州大学1997，杭州大学2007，山西师大2007，湘潭大学 2005，北京科技 2013，厦门大学 2010）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由于 $f_{0}(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，故 $f_{0}(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，于是 $\exists M>0, \forall x \in[a, b]$ 有 $\left|f_{0}(x)\right| \leqslant M$ 。
$$
\begin{aligned}
& \left|f_{1}(x)\right|=\left|\int_{a}^{x} f_{0}(t) \mathrm{d} t\right| \leqslant \int_{a}^{x}\left|f_{0}(t)\right| \mathrm{d} t \leqslant M(x-a) \\
& \left|f_{2}(x)\right|=\left|\int_{a}^{x} f_{1}(t) \mathrm{d} t\right| \leqslant \int_{a}^{x}\left|f_{1}(t)\right| \mathrm{d} t \leqslant \int_{a}^{x} M(t-a) \mathrm{d} t=\frac{1}{2!} M(x-a)^{2} .
\end{aligned}
$$
如此，用数学归纳法易证
$$
\left|f_{n}(x)\right| \leqslant \frac{1}{n!} M(x-a)^{n}, n=1,2, \cdots
$$
故 $\forall x \in[a, b]$ 有
$$
\left|f_{n}(x)\right| \leqslant \frac{1}{n!} M(x-a)^{n} \leqslant \frac{1}{n!} M(b-a)^{n}
$$
于是
$$
\sup _{[a, b]}\left|f_{n+1}(x)-0\right| \leqslant \frac{1}{n!} M(b-a)^{n}
$$
因 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n!} M(b-a)^{n}=0$ ，故 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in[a, b]}\left|f_{n}(x)-0\right|=0$ 。所以 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收玫于 0 ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用可积性得到有界性
由于 $f_0(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，故 $f_0(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界。因此存在常数 $M>0$，使得对任意 $x\in[a,b]$，有 $|f_0(x)|\leq M$。
提示：注意可积函数不一定连续，但一定有界。
步骤 2/6
目标：估计 $f_1(x)$ 的绝对值
由定义 $f_1(x)=\int_a^x f_0(t)dt$，则 $|f_1(x)|\leq \int_a^x |f_0(t)|dt \leq \int_a^x M dt = M(x-a)$。
公式：$|\int_a^x g(t)dt|\leq \int_a^x |g(t)|dt$
提示：注意积分上限 $x$ 可能小于 $a$？但 $x\in[a,b]$，所以 $x\geq a$，因此 $x-a\geq 0$。
步骤 3/6
目标：估计 $f_2(x)$ 的绝对值
由 $f_2(x)=\int_a^x f_1(t)dt$，则 $|f_2(x)|\leq \int_a^x |f_1(t)|dt \leq \int_a^x M(t-a)dt = M\cdot \frac{(x-a)^2}{2}$。
公式：$\int_a^x (t-a)dt = \frac{(x-a)^2}{2}$
提示：注意积分变量 $t$ 的范围是从 $a$ 到 $x$。
步骤 4/6
目标：用数学归纳法证明一般不等式
假设 $|f_{n-1}(x)|\leq \frac{M}{(n-1)!}(x-a)^{n-1}$ 成立，则 $|f_n(x)|\leq \int_a^x |f_{n-1}(t)|dt \leq \int_a^x \frac{M}{(n-1)!}(t-a)^{n-1}dt = \frac{M}{n!}(x-a)^n$。由归纳法，对任意 $n\geq 1$，有 $|f_n(x)|\leq \frac{M}{n!}(x-a)^n$。
公式：$\int_a^x (t-a)^{n-1}dt = \frac{(x-a)^n}{n}$
提示：归纳假设时注意下标，从 $n-1$ 到 $n$。
步骤 5/6
目标：得到一致上界
由于 $x\in[a,b]$，有 $(x-a)^n \leq (b-a)^n$，因此 $|f_n(x)|\leq \frac{M}{n!}(b-a)^n$。该上界与 $x$ 无关，故 $\sup_{x\in[a,b]}|f_n(x)|\leq \frac{M}{n!}(b-a)^n$。
提示：注意 $\sup$ 是上确界，这里直接用了不等式放缩。
步骤 6/6
目标：证明一致收敛于0
考虑极限 $\lim_{n\to\infty}\frac{M}{n!}(b-a)^n = 0$（因为阶乘增长快于指数），所以 $\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in[a,b]}|f_n(x)-0| = 0$。由一致收敛的定义，$\{f_n(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于0。
公式：$\lim_{n\to\infty}\frac{c^n}{n!}=0$ 对任意常数 $c$
提示：一致收敛要求 $\sup$ 趋于0，而不是逐点。
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