中册 6.2 函数列一致收敛性 第24题
📝 题目
24．设 $f_{n}(x), n=1,2, \cdots$ ，为 $\mathbf{R}$ 上的一致连续函数，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=f(x), \forall x \in \mathbf{R}^{1}$ ，问：$f(x)$ 是否为连续函数？若答案为＂是＂，请给出证明；若答案为＂否＂，请给出反例．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
缺少一致收敛的条件，结论不一定成立．$f(x)$ 末必为连续函数．反例：$\displaystyle f_{n}(x)=\frac{|x|^{n}}{1+|x|^{n}}, n=1,2, \cdots$ ．
$f_{n}(x)$ 在 $\mathbf{R}^{\prime}$ 上连续， $\lim _{x \rightarrow \infty} f_{n}(x)=1$ ，所以 $f_{n}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致连续．
极限函数 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=\left\{\begin{array}{l}0,|x|<1, \\ \frac{1}{2},|x|=1, f(x) \text { 在 }(-\infty,+\infty) \text { 上不连续．} \\ 1,|x|>1 .\end{array}\right.$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析问题条件
题目给出：$f_n(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上一致连续，且逐点收敛到 $f(x)$。问 $f(x)$ 是否连续。注意：一致连续是比连续更强的性质，但逐点收敛不能保证极限函数连续，需要一致收敛。
提示：注意区分一致连续与一致收敛，两者不同。
步骤 2/6
目标：判断结论
结论：$f(x)$ 不一定连续。反例：$f_n(x)=\frac{|x|^n}{1+|x|^n}$，$n=1,2,\dots$。
提示：反例需要验证每个 $f_n$ 一致连续且极限函数不连续。
步骤 3/6
目标：验证 $f_n(x)$ 一致连续
首先，$f_n(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续，且 $\lim_{|x|\to\infty} f_n(x)=1$。因此 $f_n(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上一致连续（因为连续函数在紧集上一致连续，且无穷远处极限存在，可延拓到紧化空间）。
公式：$\lim_{|x|\to\infty} f_n(x)=1$
提示：一致连续的证明也可用定义：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $M$ 使得 $|x|>M$ 时 $|f_n(x)-1|<\varepsilon/2$，在 $[-M,M]$ 上一致连续，从而整体一致连续。
步骤 4/6
目标：计算极限函数
对每个 $x$，求 $\lim_{n\to\infty} f_n(x)$。
- 若 $|x|<1$，则 $|x|^n\to 0$，故 $f(x)=0$。
- 若 $|x|=1$，则 $|x|^n=1$，故 $f(x)=\frac{1}{2}$。
- 若 $|x|>1$，则 $|x|^n\to\infty$，故 $f(x)=1$。
所以 $f(x)=\begin{cases}0, & |x|<1 \\ \frac{1}{2}, & |x|=1 \\ 1, & |x|>1\end{cases}$。
公式：$f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^n}{1+|x|^n}$
提示：注意分段点 $|x|=1$ 处极限为 $\frac{1}{2}$，不是 $0$ 或 $1$。
步骤 5/6
目标：判断 $f(x)$ 的连续性
$f(x)$ 在 $x=1$ 和 $x=-1$ 处不连续。例如在 $x=1$ 处：左极限 $\lim_{x\to 1^-} f(x)=0$，右极限 $\lim_{x\to 1^+} f(x)=1$，而 $f(1)=\frac{1}{2}$，故不连续。因此 $f(x)$ 不是连续函数。
提示：检查间断点：左右极限与函数值不相等。
步骤 6/6
目标：总结
反例表明，即使每个 $f_n$ 一致连续，逐点收敛的极限函数也可能不连续。需要一致收敛才能保证极限函数连续。
提示：一致收敛是充分条件，但不是必要条件。
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