中册 6.2 函数列一致收敛性 第25题
📝 题目
25．设函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $f(x)$ ．证明：$\left\{f_{n}(x)\right\}$在 $[a, b]$ 上等度连续（即 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ，当 $\forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in[a, b],\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta$ 时，对任意自然数 $n$ 有 $\left|f_{n}\left(x^{\prime}\right)-f_{n}\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$ ）。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由于函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $f(x), f_{n}(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，所以 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 连续。从而 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 一致连续，于是 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta_{0}>0$ ，当 $\forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in[a, b],\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta_{0}$ 时有 $\displaystyle \left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\frac{\varepsilon}{3}$ ．
由一致收敛性，对上述的 $\varepsilon>0, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时，$\displaystyle \forall x \in I,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\frac{\varepsilon}{3}$ 。因此
$$
\left|f_{n}\left(x^{\prime}\right)-f_{n}\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant\left|f_{n}\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime}\right)\right|+\left|f\left(x^{\prime \prime}\right)-f_{n}\left(x^{\prime \prime}\right)\right|+\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon .
$$
又 $f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{N}(x)$ 在区间 $[a, b]$ 均一致连续，所以对上述的 $\varepsilon>0, \exists \delta_{i}>0$ ，当 $\forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in[a, b]$ ，且 $\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta_{i}$ 时有 $\left|f_{i}\left(x^{\prime}\right)-f_{i}\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$ ．
取 $\delta=\min _{0
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用一致收敛性得到极限函数的连续性
由于函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f(x)$，且每个 $f_n$ 连续，则极限函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。
提示：一致收敛保持连续性，但需注意点态收敛不一定保持连续性。
步骤 2/6
目标：由极限函数一致连续得到控制条件
因为 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，所以一致连续。对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta_0>0$，使得当 $|x'-x''|<\delta_0$ 时，有 $|f(x')-f(x'')|<\frac{\varepsilon}{3}$。
公式：$\forall \varepsilon>0, \exists \delta_0>0, \forall x',x''\in[a,b], |x'-x''|<\delta_0 \Rightarrow |f(x')-f(x'')|<\frac{\varepsilon}{3}$
提示：注意一致连续的定义，$\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，不依赖于 $x$。
步骤 3/6
目标：利用一致收敛性控制尾部函数项
由一致收敛，存在 $N\in\mathbb{N}$，使得当 $n>N$ 时，对任意 $x\in[a,b]$ 有 $|f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{3}$。
公式：$\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n>N, \forall x\in[a,b]: |f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{3}$
提示：一致收敛的 $N$ 与 $x$ 无关，这是关键。
步骤 4/6
目标：对尾部函数项进行三角不等式估计
对于 $n>N$，当 $|x'-x''|<\delta_0$ 时，有
\[
|f_n(x')-f_n(x'')| \le |f_n(x')-f(x')| + |f(x')-f(x'')| + |f(x'')-f_n(x'')| < \frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon.
\]
公式：$|f_n(x')-f_n(x'')| \le |f_n(x')-f(x')| + |f(x')-f(x'')| + |f(x'')-f_n(x'')|$
提示：注意三角不等式的使用，要确保每一项都能控制。
步骤 5/6
目标：处理有限个前N项函数的一致连续性
对于 $i=1,2,\dots,N$，每个 $f_i$ 在 $[a,b]$ 上连续，从而一致连续。因此存在 $\delta_i>0$，使得当 $|x'-x''|<\delta_i$ 时，$|f_i(x')-f_i(x'')|<\varepsilon$。
公式：$\forall \varepsilon>0, \exists \delta_i>0, \forall x',x''\in[a,b], |x'-x''|<\delta_i \Rightarrow |f_i(x')-f_i(x'')|<\varepsilon$
提示：有限个一致连续函数可以取最小的 $\delta$。
步骤 6/6
目标：取公共的δ并完成证明
令 $\delta = \min\{\delta_0, \delta_1, \dots, \delta_N\}$，则当 $|x'-x''|<\delta$ 时，对任意自然数 $n$，若 $n>N$ 则由步骤4知 $|f_n(x')-f_n(x'')|<\varepsilon$；若 $n\le N$ 则由步骤5知 $|f_n(x')-f_n(x'')|<\varepsilon$。因此 $\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上等度连续。
提示：注意 $\delta$ 要取所有 $\delta_i$ 和 $\delta_0$ 的最小值，确保对所有 $n$ 都成立。
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