中册 6.2 函数列一致收敛性 第26题
📝 题目
26．设可积函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b](a0, \exists \delta>0$ 使 得 对 任 意 分 割 $T: a=x_{0}
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由于 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b](a0, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时，对任意 $x \in[a, b]$ 有 $\displaystyle \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\frac{\varepsilon}{4(b-a)}$ ．特别地，有 $\displaystyle \left|f_{N+1}(x)-f(x)\right|<\frac{\varepsilon}{4(b-a)}$ ．于是对任意 $x \in[a, b]$ ，
$$
f_{N+1}(x)-\frac{\varepsilon}{4(b-a)}0, \exists \delta>0$ ，对 $[a, b]$ 的 任 意 分 划 $T$ ： $a=x_{0}0, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时，$\displaystyle \forall x \in[a, b],\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\frac{\varepsilon}{3(b-a)}$ ，从而
$$
\left|\int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x-\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \int_{a}^{b}\left|f_{n}(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x<\frac{\varepsilon}{3}
$$
所以 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）由（1）知 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 可积．于是对 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta_{0}>0$ ，对 $[a, b]$ 的任分划 $T$ ，当 $\|T\|<\delta_{0}$时，对任意 $\xi_{i} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right]$ 都有 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-\sum_{i=1}^{k} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}\right|<\frac{\varepsilon}{3}$ ．
由一致收敛性，对 $\forall \varepsilon>0, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时，$\displaystyle \forall x \in[a, b],\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\frac{\varepsilon}{3(b-a)}$ 。从而
$$
\left|\sum_{i=1}^{k} f_{n}\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}-\sum_{i=1}^{k} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}\right|<\frac{\varepsilon}{3} .
$$
于是当 $n>N$ 时，
$$
\begin{aligned}
\left|\int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x-\sum_{i=1}^{k} f_{n}\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}\right| \leqslant & \int_{a}^{b}\left|f_{n}(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x+\left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-\sum_{i=1}^{k} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x\right| \\
& +\left|\sum_{i=1}^{k} f_{n}\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}-\sum_{i=1}^{k} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x\right|<\varepsilon .
\end{aligned}
$$
又 $f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{N}(x)$ 在区间 $[a, b]$ 均可积，所以对上述的 $\varepsilon>0, \exists \delta_{j}>0$ ，对 $[a, b]$ 的任分划 $T$ ，当 $\|T\|<\delta_{j}$ 时，对任意 $\xi_{i} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right]$ 都有 $\left|\int_{a}^{b} f_{j}(x) \mathrm{d} x-\sum_{i=1}^{k} f_{j}\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}\right|<\varepsilon$ ．
取 $\delta=\min _{0
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明极限函数f(x)的可积性
由于函数列$\{f_n(x)\}$在$[a,b]$上一致收敛于$f(x)$，则对任意$\varepsilon>0$，存在$N$，当$n>N$时，对任意$x\in[a,b]$有$|f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{4(b-a)}$。特别地，取$n=N+1$，则$f_{N+1}(x)-\frac{\varepsilon}{4(b-a)}
公式：|f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{4(b-a)}
提示：注意一致收敛性给出的不等式对任意x成立，且ε的选取要保证后续推导。
步骤 2/6
目标：利用可积函数f_{N+1}的振幅控制f的振幅
由于$f_{N+1}$可积，对上述$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，对任意分割$T$，当$\|T\|<\delta$时，$\sum\omega_i^{(N+1)}\Delta x_i<\frac{\varepsilon}{2}$，其中$\omega_i^{(N+1)}$是$f_{N+1}$在小区间上的振幅。由不等式可得$f$的振幅$\omega_i\leq\omega_i^{(N+1)}+\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$。
公式：\omega_i\leq\omega_i^{(N+1)}+\frac{\varepsilon}{2(b-a)}
提示：注意振幅的估计需要利用上下确界的不等式。
步骤 3/6
目标：证明f(x)可积
当$\|T\|<\delta$时，$\sum\omega_i\Delta x_i\leq\sum\omega_i^{(N+1)}\Delta x_i+\frac{\varepsilon}{2(b-a)}\sum\Delta x_i<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$。由可积的充要条件（振幅和可任意小）知$f(x)$在$[a,b]$上可积。
公式：\sum\omega_i\Delta x_i<\varepsilon
提示：注意这里利用了$\sum\Delta x_i=b-a$。
步骤 4/6
目标：证明积分极限与极限函数积分相等
由一致收敛性，对任意$\varepsilon>0$，存在$N$，当$n>N$时，$|f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{3(b-a)}$对所有$x$成立。于是$|\int_a^b f_n(x)dx-\int_a^b f(x)dx|\leq\int_a^b|f_n(x)-f(x)|dx<\frac{\varepsilon}{3}$。因此$\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)dx=\int_a^b f(x)dx$。
公式：|\int f_n-\int f|\leq\int|f_n-f|
提示：注意积分与极限交换的条件是一致收敛，这里直接利用绝对值不等式。
步骤 5/6
目标：证明一致可积性：处理n>N的情况
由(1)知$f$可积，故对$\varepsilon>0$，存在$\delta_0>0$，当$\|T\|<\delta_0$时，对任意$\xi_i$有$|\int_a^b f(x)dx-\sum f(\xi_i)\Delta x_i|<\frac{\varepsilon}{3}$。由一致收敛，存在$N$，当$n>N$时，$|f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{3(b-a)}$，从而$|\sum f_n(\xi_i)\Delta x_i-\sum f(\xi_i)\Delta x_i|<\frac{\varepsilon}{3}$。于是当$n>N$时，$|\int f_n-\sum f_n(\xi_i)\Delta x_i|\leq|\int f_n-\int f|+|\int f-\sum f(\xi_i)\Delta x_i|+|\sum f_n(\xi_i)\Delta x_i-\sum f(\xi_i)\Delta x_i|<\varepsilon$。
公式：三角不等式
提示：注意将积分差拆分为三个部分，每个部分分别用一致收敛和可积性控制。
步骤 6/6
目标：证明一致可积性：处理n≤N的情况
对于有限个可积函数$f_1,\dots,f_N$，每个$f_j$可积，故存在$\delta_j>0$，当$\|T\|<\delta_j$时，对任意$\xi_i$有$|\int f_j-\sum f_j(\xi_i)\Delta x_i|<\varepsilon$。取$\delta=\min\{\delta_0,\delta_1,\dots,\delta_N\}$，则当$\|T\|<\delta$时，对所有$n$（包括$n\leq N$和$n>N$）都有$|\int f_n-\sum f_n(\xi_i)\Delta x_i|<\varepsilon$。因此$\{f_n\}$在$[a,b]$上一致可积。
提示：注意有限个可积函数可以取公共的δ，因为最小值仍为正。
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