中册 6.2 函数列一致收敛性 第27题
📝 题目
27．设 $\left\{s_{n}(x)\right\}$ 为定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上的函数列，$s_{n}(x)$ 在任何有限区间 $[A, B]$ 上 Riemann 可积且一致收敛于 $s(x)$ ，若存在 $(-\infty,+\infty)$ 上广义积分收敛的函数 $F(x), \forall n$ 及 $x \in(-\infty,+\infty)$ 有 $\left|s_{n}(x)\right| \leqslant F(x)$ ，证 明：（1）$\left|s_{n}(x)\right|$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上可积；（2）$s(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上可积； （3） $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} s_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{+\infty} s(x) \mathrm{d} x$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由已知条件及比较判别法得 $\left|s_{n}(x)\right|$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上可积．
（2）由于 $s_{n}(x)$ 在任何有限区间 $[A, B]$ 上可积且一致收敛于 $s(x)$ ，由题 26 知 $s(x)$ 在任何有限区间 $[A, B]$ 上可积，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{A}^{B} s_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{A}^{B} s(x) \mathrm{d} x$ ．
$\forall n, x \in(-\infty,+\infty)$ ，由 $\left|s_{n}(x)\right| \leqslant F(x)$ 得对 $\forall x \in(-\infty,+\infty),|s(x)| \leqslant F(x)$ 。由比较判别法得 $s(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上可积．
（3）由 $s_{n}(x)$ 和 $s(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上可积，对 $\forall \varepsilon>0, \exists G>0$ ，当 $|x|>G$ 时有
$$
\left|\int_{-\infty}^{-G} s(x) \mathrm{d} x\right|<\varepsilon,\left|\int_{G}^{+\infty} s(x) \mathrm{d} x\right|<\varepsilon,\left|\int_{-\infty}^{-G} s_{n}(x) \mathrm{d} x\right|<\varepsilon,\left|\int_{G}^{+\infty} s_{n}(x) \mathrm{d} x\right|<\varepsilon
$$
由 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-G}^{G} s_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{-G}^{G} s(x) \mathrm{d} x$ ，对 $\forall \varepsilon>0, \exists N>0$ ，当 $n>N, \forall x \in[-G, G]$ 有
$$
\left|\int_{-G}^{G} s_{n}(x) \mathrm{d} x-\int_{-G}^{G} s(x) \mathrm{d} x\right|<\varepsilon
$$
于是当 $n>N$ 时，
$$
\begin{aligned}
& \left|\int_{-\infty}^{+\infty} s_{n}(x) \mathrm{d} x-\int_{-\infty}^{+\infty} s(x) \mathrm{d} x\right| \\
& \leqslant\left|\int_{-G}^{G} s_{n}(x) \mathrm{d} x-\int_{-G}^{G} s(x) \mathrm{d} x\right|+\left|\int_{-\infty}^{-G} s_{n}(x) \mathrm{d} x\right|+\left|\int_{-\infty}^{-G} s(x) \mathrm{d} x\right|+\left|\int_{G}^{+\infty} s(x) \mathrm{d} x\right|+\left|\int_{G}^{+\infty} s_{n}(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant 5 \varepsilon
\end{aligned}
$$
故 $\quad \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} s_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{+\infty} s(x) \mathrm{d} x$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明 |s_n(x)| 在 (-∞,+∞) 上可积
由已知条件，|s_n(x)| ≤ F(x) 对所有 n 和 x 成立，且 F(x) 在 (-∞,+∞) 上广义积分收敛。根据比较判别法，若 |s_n(x)| 在任意有限区间上 Riemann 可积（由 s_n(x) 的可积性可得），且被控制函数 F(x) 的广义积分收敛，则 |s_n(x)| 的广义积分也收敛，即 |s_n(x)| 在 (-∞,+∞) 上可积。
公式：|s_n(x)| ≤ F(x), ∫_{-∞}^{+∞} F(x) dx 收敛 ⇒ ∫_{-∞}^{+∞} |s_n(x)| dx 收敛
提示：注意比较判别法要求被积函数非负，这里 |s_n(x)| 非负，且控制函数 F(x) 的积分收敛。
步骤 2/6
目标：证明 s(x) 在任意有限区间上可积
由于 s_n(x) 在任何有限区间 [A,B] 上 Riemann 可积且一致收敛于 s(x)，根据一致收敛的性质，极限函数 s(x) 在 [A,B] 上 Riemann 可积，并且积分与极限可交换：lim_{n→∞} ∫_A^B s_n(x) dx = ∫_A^B s(x) dx。
公式：s_n(x) ⇉ s(x) on [A,B] ⇒ s(x) Riemann 可积且 ∫_A^B s(x) dx = lim_{n→∞} ∫_A^B s_n(x) dx
提示：一致收敛是保证极限函数可积和积分交换的关键条件。
步骤 3/6
目标：证明 s(x) 在 (-∞,+∞) 上可积
由 |s_n(x)| ≤ F(x) 且 s_n(x) → s(x) 逐点收敛，可得 |s(x)| ≤ F(x) 对所有 x 成立。因为 F(x) 的广义积分收敛，由比较判别法，s(x) 的广义积分绝对收敛，从而 s(x) 在 (-∞,+∞) 上可积。
公式：|s(x)| ≤ F(x), ∫_{-∞}^{+∞} F(x) dx 收敛 ⇒ ∫_{-∞}^{+∞} s(x) dx 绝对收敛
提示：注意 s(x) 不一定非负，但绝对收敛保证可积。
步骤 4/6
目标：利用控制函数估计尾部积分
由于 s(x) 和 s_n(x) 的广义积分收敛，对任意 ε>0，存在 G>0 使得当 |x|>G 时，尾部积分足够小：|∫_{-∞}^{-G} s(x) dx| < ε, |∫_G^{+∞} s(x) dx| < ε, 以及 |∫_{-∞}^{-G} s_n(x) dx| < ε, |∫_G^{+∞} s_n(x) dx| < ε。这里利用了 |s_n(x)| ≤ F(x) 和 F(x) 积分的收敛性。
公式：∃ G>0: ∫_{-∞}^{-G} |F(x)| dx < ε, ∫_G^{+∞} |F(x)| dx < ε ⇒ 相应尾部积分小于 ε
提示：注意控制函数 F(x) 的积分收敛性保证了尾部一致小。
步骤 5/6
目标：利用一致收敛性估计有限区间上的积分差
在有限区间 [-G, G] 上，s_n(x) 一致收敛于 s(x)，因此积分也收敛：对上述 ε>0，存在 N，当 n>N 时，|∫_{-G}^G s_n(x) dx - ∫_{-G}^G s(x) dx| < ε。
公式：s_n ⇉ s on [-G,G] ⇒ ∃ N: n>N ⇒ |∫_{-G}^G s_n - ∫_{-G}^G s| < ε
提示：一致收敛保证积分收敛，但注意这里需要有限区间。
步骤 6/6
目标：组合估计证明极限等式
当 n>N 时，将全积分差分解为有限区间和两个尾部：|∫_{-∞}^{+∞} s_n dx - ∫_{-∞}^{+∞} s dx| ≤ |∫_{-G}^G (s_n - s) dx| + |∫_{-∞}^{-G} s_n dx| + |∫_{-∞}^{-G} s dx| + |∫_G^{+∞} s_n dx| + |∫_G^{+∞} s dx| < ε + ε + ε + ε + ε = 5ε。由 ε 的任意性，得 lim_{n→∞} ∫_{-∞}^{+∞} s_n(x) dx = ∫_{-∞}^{+∞} s(x) dx。
公式：三角不等式和尾部估计
提示：注意尾部估计中每个积分都小于 ε，但实际可能不同，这里取统一 ε 是为了简化。
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