中册 6.2 函数列一致收敛性 第30题
📝 题目
30．设连续函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $U\left(x_{0}, \delta\right)(\delta>0)$ 内一致收敛，且 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f_{n}(x)=a_{n}, n \in \mathbf{N}$ ．证明 $\left\{a_{n}\right\}$收玫．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由于 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $U\left(x_{0}, \delta\right)$ 内 一 致 收 敛 于 $f(x)$ ，故 对 $\forall \varepsilon>0, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时，对 $\forall x \in U\left(x_{0}, \delta\right)$ 及任一自然数 $p$ 有
$$
\left|f_{n}(x)-f_{n+p}(x)\right|<\varepsilon
$$
注意到 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f_{n}(x)=a_{n}, n=1,2, \therefore$ ，在上式中令 $x \rightarrow x_{0}$ ，左右取极限，得 $\left|a_{n}-a_{n+p}\right| \leqslant \varepsilon$ ．于是有 $\left\{a_{n}\right\}$ 是基本列，从而 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解一致收敛的定义
由于函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $U(x_0, \delta)$ 内一致收敛，根据一致收敛的柯西准则，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N \in \mathbb{N}$，使得当 $n > N$ 时，对任意 $x \in U(x_0, \delta)$ 和任意自然数 $p$，有 $|f_n(x) - f_{n+p}(x)| < \varepsilon$。
公式：一致收敛的柯西准则：$\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n>N, \forall p \in \mathbb{N}, \forall x \in U(x_0,\delta): |f_n(x)-f_{n+p}(x)|<\varepsilon$
提示：注意一致收敛与逐点收敛的区别：一致收敛要求 $N$ 与 $x$ 无关。
步骤 2/4
目标：利用已知极限条件
已知对每个 $n$，$\lim_{x \to x_0} f_n(x) = a_n$。因此，在不等式 $|f_n(x) - f_{n+p}(x)| < \varepsilon$ 中，固定 $n$ 和 $p$，令 $x \to x_0$，由极限的保号性可得 $\lim_{x \to x_0} |f_n(x) - f_{n+p}(x)| = |a_n - a_{n+p}| \leq \varepsilon$。
公式：极限的保号性：若 $|f_n(x)-f_{n+p}(x)|<\varepsilon$ 且极限存在，则 $|a_n-a_{n+p}|\leq\varepsilon$
提示：注意极限不等式取极限后可能变为 $\leq$，严格不等式可能变为非严格。
步骤 3/4
目标：证明数列是柯西列
由上述推导，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，对任意自然数 $p$，有 $|a_n - a_{n+p}| \leq \varepsilon$。这正是数列 $\{a_n\}$ 为柯西列的定义。
公式：柯西列定义：$\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n>N, \forall p \in \mathbb{N}: |a_n-a_{n+p}|<\varepsilon$
提示：注意柯西列定义中 $p$ 是任意自然数，等价于对任意 $m>n$ 有 $|a_n-a_m|<\varepsilon$。
步骤 4/4
目标：由柯西收敛准则推出数列收敛
在实数集中，柯西列必收敛（实数完备性）。因此，数列 $\{a_n\}$ 收敛。
公式：实数完备性：柯西收敛准则
提示：该结论依赖于实数集的完备性，在有理数集中不一定成立。
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