中册 6.2 函数列一致收敛性 第31题

解题过程： （1）反证法．假设 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛．由柯西收敛准则，$\forall \varepsilon>0, \exists N>0, \forall n, m>N$ 有 $$ \left|f_{n}(x)-f_{m}(x)\right|<\varepsilon $$ 由 $f_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，令 $x \rightarrow b^{-}$得 $$ \left|f_{n}(b)-f_{m}(b)\right| \leqslant \varepsilon $$ 由数列的柯西收敛准则知 $\left\{f_{n}(b)\right\}$ 收敛．矛盾．故 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上非一致收敛． （2）反证法。假如 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $[a, b)$ 上一致收敛，则 $\forall \varepsilon>0, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时，对 $\forall p \in \mathbf{N}^{+}$及 $\forall x \in[a, b)$ 有 $$ \left|u_{n+1}(x)+\cdots+u_{n+p}(x)\right|<\varepsilon $$ 又因 $u_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，在上式中令 $x \rightarrow b^{-}$，得 $$ \left|u_{n+1}(b)+\cdots+u_{n+p}(b)\right|<\varepsilon . $$ 由级数的 Cauchy 收玫原理知 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(b)$ 收玫．矛盾． （3）同（1）． （4）反证法．设 $\sum u_{n}(x)$ 在 $(c, c+\delta)$ 上一致收敛，即 $\forall \varepsilon>0, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时，对 $\forall p \in \mathbf{N}^{+}$及 $\forall x \in(c, c+\delta)$ 有 $$ \left|u_{n+1}(x)+u_{n+2}(x)+\cdots+u_{n+p}(x)\right|<\varepsilon . $$ 又因 $u_{n}(x)$ 在左端点 $x=c$（右）连续，令 $x \rightarrow c^{+}$，对上式两端取极限得 $$ \left|u_{n+1}(c)+\cdots+u_{n+p}(c)\right| \leqslant \varepsilon $$ 从而 $\sum u_{n}(c)$ 收敛．这与已知矛盾．故 $\sum u_{n}(x)$ 在 $(c, c+\delta)$ 上非一致收敛． 令 $\displaystyle u_{n}(x)=\frac{1}{(\sin x+\cos x)^{n}}$ ，则 $u_{n}(x)$ 在 $x=0$ 连续，且 $u_{n}(0)=1, \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(0)$ 发散，所以级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(\sin x+\cos x)^{n}}$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内非一致收敛。 （5）若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(b)$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $(a, b)$ 上非一致收敛；若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(b)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $(a, b)$上不一定一致收敛。因若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $x=a$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $(a, b)$ 上非一致收玫。 （6）由 $f_{n}(x) \leqslant h_{n}(x) \leqslant g_{n}(x), \forall x \in[a, b)$ 有 $$ 0 \leqslant h_{n}(x)-f_{n}(x) \leqslant g_{n}(x)-f_{n}(x), \forall x \in[a, b) $$ 因为 $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x), \sum_{n=1}^{\infty} g_{n}(x)$ 在 $(a, b)$ 上收玫，所以 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(f_{n}(x)-g_{n}(x)\right)$ 在 $(a, b)$ 上收玫。由比较判别法 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(h_{n}(x)-f_{n}(x)\right)$ 在 $(a, b)$ 上收玫。于是级数 $\sum_{n=1}^{\infty} h_{n}(x)$ 在 $(a, b)$ 上收玫。 又由（2）知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} h_{n}(x)$ 在 $(a, b)$ 上非一致收玫． （7）由 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $[a, b)$ 上一致收敛，$\forall \varepsilon>0, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时，对 $\forall p \in \mathbf{N}^{+}$及 $\forall x \in[a, b)$ 有 $$ \left|u_{n+1}(x)+\cdots+u_{n+p}(x)\right|<\varepsilon $$ 又因 $u_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，在上式中令 $x \rightarrow b^{-}$得 $$ \left|u_{n+1}(b)+\cdots+u_{n+p}(b)\right|<\varepsilon . $$ 由级数的 Cauchy 收玫原理知 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(b)$ 收玫。 同理得 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(a)$ 收玫。