中册 6.2 函数列一致收敛性 第32题

\section*{解题过程：} （1）由于 $f_{n}(x), n=1,2, \cdots$ ，在 $[a, b]$ 上有界，故 $\forall n \in N, \exists M_{n}>0$ ，使得 $\forall x \in[a, b]$ 有 $\left|f_{n}(x)\right| \leqslant M_{n}$ ． 又 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛，设极限函数为 $f(x)$ ，则对 $\varepsilon=1>0, \exists N>0$ ，当 $n>N$时，$\forall x \in[a, b]$ 有 $\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<1$ 。特别地，有 $\left|f_{N+1}(x)-f(x)\right|<1$ 。于是 $$ |f(x)| \leqslant\left|f_{N+1}(x)\right|+1 \leqslant M_{N+1}+1,\left|f_{n}(x)\right| \leqslant|f(x)|+1 \leqslant M_{N+1}+2, n>N $$ 取 $M=\max \left\{M_{1}, M_{2}, \cdots, M_{N}, M_{N+1}+2\right\}$ ，则 $\forall x \in[a, b], \forall n$ 有 $\left|f_{n}(x)\right| \leqslant M$ ，即 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致有界。 又由题设及已证知上确界都存在，且有 $\left|\sup _{a0$ ，所以 $m>0$ ． 由 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $f(x)$ ，则对 $\displaystyle \varepsilon=\frac{m}{2}, \exists N>0$ ，对 $\forall n>N, \forall x \in[a, b]$ 有 $$ f_{n}(x)>f(x)-\varepsilon \geqslant m-\frac{m}{2}=\frac{m}{2}>0 . $$ 取 $\delta=\varepsilon$ ，则 $\displaystyle f_{n}(x)>\frac{m}{2}=\delta>0$ ． （3）由于 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $I$ 上一致收敛于 $f(x)$ ，则对 $\varepsilon=1, \exists N>0$ ，当 $n \geqslant N$ 时，$\forall x \in I$ 有 $\left|f_{n}(x)-f(x)\right| \leqslant 1$ ．特别地，有 $\left|f_{N}(x)-f(x)\right| \leqslant 1$ ．于是 $\forall x \in I$ 有 $$ |f(x)| \leqslant\left|f(x)-f_{N}(x)\right|+\left|f_{N}(x)\right| \leqslant 1+a_{N}, $$ 即 $f(x)$ 在 $I$ 上有界。