中册 6.2 函数列一致收敛性 第33题

\section*{解题过程：} （1）因 $f_{n}(x)(n=1,2, \cdots)$ 在 $[a, b]$ 上连续，从而每个 $f_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 有界。由上题的结论知极限函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 有界，且函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 一致有界。于是存在 $M>0$ ，使得 $$ \left|f_{n}(x)\right| \leqslant M,|f(x)| \leqslant M, \forall x \in[a, b], n \geqslant 1 . $$ 由于 $g(x)$ 在 $[-M, M]$ 上连续，从而一致连续，即 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ，当 $x_{1}, x_{2} \in[-M, M]$ ，且 $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta$ 时有 $$ \left|g\left(x_{1}\right)-g\left(x_{2}\right)\right|<\varepsilon . $$ 又 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $f(x)$ ，所以对上述 $\delta>0, \exists N>0$ ，当 $n>N, \forall x \in[a, b]$ 有 $\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\delta$ ，从而有 $$ \left|g\left(f_{n}(x)\right)-g(f(x))\right|<\varepsilon $$ 由定义知 $\left\{g\left(f_{n}(x)\right)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收玫于 $g(f(x))$ ． （2）由条件知 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在任意有限区间上是一致收敛的，对任意有限区间 $[a, b],\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $f(x),\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致有界，$\left|f_{n}(x)\right| \leqslant M$ 。再由 $f(x)$ 在 $[-M, M]$ 上一致连续，由（1）得 $\left\{f\left(f_{n}(x)\right)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收玫于 $f(f(x))$ ． （3）与（1）（2）类似。