中册 6.2 函数列一致收敛性 第34题

\section*{解题过程：} （1）由 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $I$ 上一致收敛于 $f(x)$ ，且 $f(x)$ 在 $I$ 上有界知 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $I$ 上一致有界。同理 $\left\{g_{n}(x)\right\}$ 在 $I$ 上一致有界。设 $\left|f_{n}(x)\right| \leqslant A,\left|g_{n}(x)\right| \leqslant B$ ，则 $$ \begin{aligned} \left|f_{n}(x) g_{n}(x)-f(x) g(x)\right| & =\left|f_{n}(x) g_{n}(x)-f_{n}(x) g(x)+f_{n}(x) g(x)-f(x) g(x)\right| \\ & \leqslant\left|f _ { n } ( x ) \left\|g_{n}(x)-g(x)\left|+\left|f_{n}(x)-f(x) \| g(x)\right|\right.\right.\right. \\ & \leqslant A\left|g_{n}(x)-g(x)\right|+B\left|f_{n}(x)-f(x)\right| \end{aligned} $$ 再由条件，即可得到结论。 如果只给出 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 与 $\left\{g_{n}(x)\right\}$ 分别一致收敛于 $f(x)$ 与 $g(x)$ ，不能保证 $\left\{f_{n}(x) g_{n}(x)\right\}$ 一致收敛于 $f(x) g(x)$ ． 反例：$\displaystyle f_{n}(x)=g_{n}(x)=x+\frac{1}{n}, f(x)=g(x)=x, x \in(-\infty, \infty)$ ．显然 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 与 $\left\{g_{n}(x)\right\}$ 在 $(-\infty, \infty)$ 上均一致收敛．$\displaystyle f_{n}(x) g_{n}(x)=x^{2}+2 x \frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}, \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) g_{n}(x)=x^{2}$ ．但 $\displaystyle \sup _{x \in \mathbf{R}}\left|f_{n}(x) g_{n}(x)-f(x) g(x)\right| =\sup _{x \in \mathbf{R}}\left|\frac{2}{n} x+\frac{1}{n^{2}}\right|=+\infty$ ，故 $\left\{f_{n}(x) g_{n}(x)\right\}$ 在 $\mathbf{R} \cdot$ 上非一致收敛于 $f(x) g(x)$ ． （2）由已知 $f_{n}(x), f(x)$ 和 $g_{n}(x), g(x)$ 均在 $[a, b]$ 上一致有界，同（1）可证。 （3）由已知 $f_{n}(x), f(x)$ 和 $g_{n}(x), g(x)$ 均在 $[a, b]$ 上一致有界，同（1）可证。 （4）由 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 与 $\left\{g_{n}(x)\right\}$ 在区间 $[a, b]$ 上分别一致收玫于 $f(x)$ 与 $g(x)$ ，得 $f_{n}(x)+g_{n}(x)$ ， $f_{n}(x)-g_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 上分别一致收玫于 $f(x)+g(x), f(x)-g(x)$ 。于是 $\left|f_{n}(x)-g_{n}(x)\right|$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $|f(x)-g(x)|$ ，进而 $\displaystyle \max \left\{f_{n}(x), g_{n}(x)\right\}=\frac{1}{2}\left[f_{n}(x)+g_{n}(x)+\left|f_{n}(x)-g_{n}(x)\right|\right]$ 在 $[a, b]$ 上一致收玫于 $\max \{f(x), g(x)\}$ 。