中册 6.2 函数列一致收敛性 第35题
📝 题目
35．证明下列结论．
（1）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有任意阶导数 $f^{(n)}(x)$ ，且对任意有界闭区间 $[a, b],\left\{f^{(n)}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $\varphi(x), n>\infty$ 。证明 $\varphi(x)=C \mathrm{e}^{x}, C$ 为常数．
（2）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上非恒为零，存在任意阶导数 $f^{(n)}(x)$ ，且对任意 $x \in(-\infty,+\infty)$ ， $\displaystyle \left|f^{(n)}(x)-f^{(n-1)}(x)\right|<\frac{1}{n^{2}}$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} f^{(n)}(x)=C \mathrm{e}^{x}, C$ 为常数．，
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）转证明：$\varphi^{\prime}(x)=\varphi(x)$ ．
设 $g_{n}(x)=f^{(n)}(x)$ ．由于 $\left\{f^{(n)}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收玫于 $\varphi(x)$ ，且
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f^{(n)}(x)\right)^{\prime}=\lim _{n \rightarrow \infty} f^{(n+1)}(x)=\varphi(x)
$$
则有 $\left\{g_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $\varphi(x),\left\{g_{n}^{\prime}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $\varphi(x)$ 。于是 $\varphi^{\prime}(x)=\varphi(x)$ ，故 $\varphi(x)=C \mathrm{e}^{x}$.
（2）设 $g_{n}(x)=f^{(n)}(x)$ ．由 $\displaystyle \left|f^{(n)}(x)-f^{(n-1)}(x)\right|<\frac{1}{n^{2}}$ 有
$$
\left|g_{n}(x)-g_{n-1}(x)\right|<\frac{1}{n^{2}}
$$
从而 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|g_{n}(x)-g_{n-1}(x)\right|$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛。由此得 $\left\{g_{n}(x)\right\}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛。由（1）知 $\lim _{n \rightarrow \infty} f^{(n)}(x)=C \mathrm{e}^{x}$.
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析问题（1）的条件
已知 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有任意阶导数，且对任意有界闭区间 $[a,b]$，函数列 $\{f^{(n)}(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $\varphi(x)$。即 $\lim_{n\to\infty} f^{(n)}(x) = \varphi(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致成立。
提示：注意一致收敛的条件是对任意有界闭区间，而非整个实数轴。
步骤 2/6
目标：推导极限函数的导数
设 $g_n(x)=f^{(n)}(x)$，则 $g_n'(x)=f^{(n+1)}(x)$。由于 $\{g_n\}$ 一致收敛于 $\varphi$，且 $\{g_n'\}$ 一致收敛于 $\varphi$（因为 $\lim_{n\to\infty} f^{(n+1)}(x)=\varphi(x)$ 也一致收敛），根据一致收敛函数列的导数性质，有 $\varphi'(x)=\lim_{n\to\infty} g_n'(x)=\varphi(x)$。
公式：$\varphi'(x)=\varphi(x)$
提示：需要验证导数序列的一致收敛性，这里由条件直接得到。
步骤 3/6
目标：求解微分方程
由 $\varphi'(x)=\varphi(x)$ 解得 $\varphi(x)=Ce^x$，其中 $C$ 为常数。
公式：$\varphi(x)=Ce^x$
提示：注意微分方程的解是唯一的，常数 $C$ 由初始条件确定。
步骤 4/6
目标：分析问题（2）的条件
已知 $f(x)$ 非恒为零，存在任意阶导数，且对任意 $x\in(-\infty,+\infty)$，有 $|f^{(n)}(x)-f^{(n-1)}(x)|<\frac{1}{n^2}$。
公式：$|f^{(n)}(x)-f^{(n-1)}(x)|<\frac{1}{n^2}$
提示：注意不等式对每个 $x$ 成立，且与 $x$ 无关。
步骤 5/6
目标：证明函数列一致收敛
设 $g_n(x)=f^{(n)}(x)$，则 $|g_n(x)-g_{n-1}(x)|<\frac{1}{n^2}$。由于 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ 收敛，由 Weierstrass M-判别法，级数 $\sum_{n=1}^\infty (g_n(x)-g_{n-1}(x))$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛。因此部分和 $g_n(x)=g_0(x)+\sum_{k=1}^n (g_k(x)-g_{k-1}(x))$ 一致收敛，记极限为 $\varphi(x)$。
公式：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ 收敛
提示：一致收敛性由优级数判别法保证，注意优级数与 $x$ 无关。
步骤 6/6
目标：应用（1）的结论
由于 $\{f^{(n)}(x)\}$ 在任意有界闭区间上一致收敛（因为在整个实数轴上一致收敛），且 $f$ 有任意阶导数，满足（1）的条件，故 $\lim_{n\to\infty} f^{(n)}(x)=\varphi(x)=Ce^x$。
提示：注意（1）中要求对任意有界闭区间一致收敛，这里由整体一致收敛自然满足。
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