中册 6.2 函数列一致收敛性 第36题

\section*{解题过程：} 让 $n \rightarrow+\infty$ 得 $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant \varepsilon$ ，这表明 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上一致连续． 对 $\forall x^{\prime} \in[a, b]$ ，由 $\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}\left(x^{\prime}\right)=f\left(x^{\prime}\right)$ ，对 $\forall \varepsilon>0, \exists N^{\prime}>0$ ，当 $n>N^{\prime}$ 时有 $\displaystyle \left|f_{n}\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime}\right)\right|<\frac{\varepsilon}{3}$ ． 由已知及 $f(x)$ 的连续性，对上述的 $\varepsilon>0, \exists \delta^{\prime}>0$ ，当 $\left|x^{\prime}-x\right|<\delta^{\prime}$ 有 $$ \left|f_{n}(x)-f_{n}\left(x^{\prime}\right)\right|<\frac{\varepsilon}{3},\left|f(x)-f\left(x^{\prime}\right)\right|<\frac{\varepsilon}{3} . $$ 于是 $$ \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\left|f_{n}(x)-f_{n}\left(x^{\prime}\right)\right|+\left|f_{n}\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime}\right)\right|+\left|f(x)-f\left(x^{\prime}\right)\right|<\varepsilon . $$ 构造 $H=\left\{\left(x^{\prime}-\delta^{\prime}, x^{\prime}+\delta^{\prime}\right) \mid x^{\prime} \in[a, b]\right\}$ ，则 $H$ 为 $[a, b]$ 的一个开覆盖。由有限覆盖定理，必有有限子覆盖，记为 $H_{0}=\left\{\left(x_{k}-\delta_{k}, x_{k}+\delta_{k}\right), \mid x_{k} \in[a, b], k=1,2, \cdots, m\right\}$ 。 取 $N=\max \left\{N_{1}, N_{2}, \cdots, N_{m}\right\}$ ，则 当 $n>N$ 时，对 任 意 $x \in[a, b]$ 总 有 $k(1 \leqslant k \leqslant m)$ 使 得 $x \in\left(x_{k}-\delta_{k}, x_{k}+\delta_{k}\right)$ ，从而 $\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon$ 。由此得 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $[a, b]$ 上一致收玫于 $f(x)$ 。 注：（1）称函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $[a, b]$ 上等度连续，是指：$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in[a, b]$ ： $\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta$ 有 $\left|f_{n}\left(x^{\prime}\right)-f_{n}\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant \varepsilon, n=1,2, \cdots$ 。 （2）证明的思想是通过有限分割或有限覆盖定理将任意动态点的估计转化为有限个点的静态估计。