中册 6.2 函数列一致收敛性 第38题
📝 题目
38．证明下列结论（Dini 定理）。
（1）设函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 满足下列条件：
i）$\forall n, f_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且有 $f_{n}(x) \leqslant f_{n+1}(x), x \in[a, b]$ ；ii）$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 点点收敛于 $[a, b]$ 上的连续函数 $f(x)$ ．
💡 答案解析
证明：$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $f(x)$ ．（山东师大 2013 北京大学 2005，广西民大 2011，东北师大 1996／2006，兰州大学 2000，南京理工 $2006([a, b]=[0,1])$
（2）设 $-\inftyn_{k}$ 有
$$
0 \leqslant f\left(x_{0}\right)-f_{n}\left(x_{0}\right)<\frac{\varepsilon}{3}
$$
因为 $f_{n}(x), f(x)$ 在 $x_{0}$ 点连续，所以存在 $\delta_{x_{0}}>0$ ，当 $\left|x-x_{0}\right|<\delta_{x_{0}}$ ，且 $x \in[a, b]$ 时有
$$
\left|f_{n_{t}}(x)-f_{n_{t}}\left(x_{0}\right)\right|<\frac{\varepsilon}{3},\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|<\frac{\varepsilon}{3} .
$$
于是当 $n>n_{k},\left|x-x_{0}\right|<\delta_{x_{0}}$ ，且 $x \in[a, b]$ 时有
$$
\left|f(x)-f_{n}(x)\right| \leqslant\left|f(x)-f_{n_{t}}(x)\right| \leqslant\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|+\left|f\left(x_{0}\right)-f_{n_{t}}\left(x_{0}\right)\right|+\left|f_{n_{t}}(x)-f_{n_{t}}\left(x_{0}\right)\right|<\varepsilon .
$$
记 $\Delta_{x_{0}}=\left\{x:\left|-x_{0}\right|<\delta_{x_{0}}\right\}$ ．构造开区间族 $H=\left\{\Delta_{x_{0}}: x_{0} \in[a, b]\right\}$ ，则 $H$ 覆盖了闭区间 $[a, b]$ ．由有限覆盖定理，从开区间族 $\left\{\Delta_{x_{0}}: x_{0} \in[a, b]\right\}$ 中可以选出有限个 $\Delta_{x_{1}}, \Delta_{x_{2}}, \Delta_{x_{1}}, \cdots, \Delta_{x_{1}}$ ，使 $[a, b] \subset \bigcup_{i=1}^{k} \Delta_{x_{i}}$ 。于是 $\forall x \in[a, b]$ ，存在相应的 $\delta_{x_{i}}$ 与 $n_{k_{i}}$ ，使 $x \in \Delta_{x_{i}} \bigcap[a, b]$ ，且 $n>n_{k_{i}}$ 时有 $\left|f(x)-f_{n}(x)\right|<\varepsilon$ ．
取 $N=\max _{1N$ 时，$\forall x \in[a, b]$ 有 $\left|f(x)-f_{n}(x)\right|<\varepsilon$ ，即 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $f(x)$ ．
（2）由（1）知 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致处处收敛于 0 ，于是
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \max _{x \in[a, b]}\left|f_{n}(x)\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in[a, b]}\left|f_{n}(x)-0\right|=0
$$
（3）设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 的部分和函数为 $S_{n}(x)$ ，则 $\left\{S_{n}(x)\right\}$ 满足如下条件：
i）$\forall n, S_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且有 $S_{n}(x) \leqslant S_{n+1}(x), x \in[a, b]$ ．
ii）$\left\{S_{n}(x)\right\}$ 点点收敛于 $[a, b]$ 上的连续函数 $f(x)$ ．
于是 $\left\{S_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $f(x)$ ，故 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致收玫于 $f(x)$ ．
注：本题借助关于 $n$ 的单调性将变动的下标 $n$ 转化为固定的下标 $n_{k_{i}}$ ，由有限覆盖定理实现动态点处的估计转化为静态点处的估计．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用单调性和点态收敛进行局部估计
对任意 $x_0 \in [a,b]$，由 $f_n(x_0)$ 单调递增收敛于 $f(x_0)$，存在 $n_k$ 使得当 $n > n_k$ 时，$0 \leq f(x_0) - f_n(x_0) < \frac{\varepsilon}{3}$。特别地，取 $n = n_k$ 有 $0 \leq f(x_0) - f_{n_k}(x_0) < \frac{\varepsilon}{3}$。
公式：$0 \leq f(x_0) - f_{n_k}(x_0) < \frac{\varepsilon}{3}$
提示：注意单调递增条件保证了 $f_n(x_0) \leq f(x_0)$，因此差非负。
步骤 2/7
目标：利用连续性得到局部邻域估计
由于 $f_{n_k}(x)$ 和 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，存在 $\delta_{x_0} > 0$，使得当 $|x - x_0| < \delta_{x_0}$ 且 $x \in [a,b]$ 时，$|f_{n_k}(x) - f_{n_k}(x_0)| < \frac{\varepsilon}{3}$，$|f(x) - f(x_0)| < \frac{\varepsilon}{3}$。
公式：$|f_{n_k}(x) - f_{n_k}(x_0)| < \frac{\varepsilon}{3}$，$|f(x) - f(x_0)| < \frac{\varepsilon}{3}$
提示：连续性保证存在邻域，但邻域半径依赖于 $x_0$ 和 $n_k$。
步骤 3/7
目标：组合估计得到局部一致估计
对任意 $x$ 满足 $|x - x_0| < \delta_{x_0}$ 且 $x \in [a,b]$，当 $n > n_k$ 时，利用单调性 $f_n(x) \geq f_{n_k}(x)$ 有
$$
|f(x) - f_n(x)| \leq |f(x) - f_{n_k}(x)| \leq |f(x) - f(x_0)| + |f(x_0) - f_{n_k}(x_0)| + |f_{n_k}(x) - f_{n_k}(x_0)| < \varepsilon.
$$
公式：$|f(x) - f_n(x)| < \varepsilon$
提示：注意这里用到了 $f_n(x) \geq f_{n_k}(x)$ 和 $f(x) \geq f_{n_k}(x)$，从而 $f(x)-f_n(x) \leq f(x)-f_{n_k}(x)$。
步骤 4/7
目标：应用有限覆盖定理
构造开区间族 $H = \{ (x_0 - \delta_{x_0}, x_0 + \delta_{x_0}) : x_0 \in [a,b] \}$，则 $H$ 覆盖闭区间 $[a,b]$。由有限覆盖定理，存在有限个 $x_1, x_2, \dots, x_k$ 使得 $[a,b] \subset \bigcup_{i=1}^k (x_i - \delta_{x_i}, x_i + \delta_{x_i})$。
提示：有限覆盖定理是处理从局部到整体的关键工具。
步骤 5/7
目标：取最大指标得到全局一致收敛
对每个 $x_i$，存在对应的 $n_{k_i}$ 使得当 $n > n_{k_i}$ 时，在邻域 $(x_i - \delta_{x_i}, x_i + \delta_{x_i})$ 内 $|f(x)-f_n(x)| < \varepsilon$。令 $N = \max_{1 \leq i \leq k} n_{k_i}$，则当 $n > N$ 时，对任意 $x \in [a,b]$，存在某个 $i$ 使 $x$ 属于该邻域，从而 $|f(x)-f_n(x)| < \varepsilon$。因此 $\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f$。
提示：注意 $N$ 的选取依赖于有限个 $n_{k_i}$ 的最大值，这是关键步骤。
步骤 6/7
目标：证明第二部分：单调递减趋于零的情形
令 $g_n(x) = -f_n(x)$，则 $g_n(x)$ 连续且单调递增，$g_n(x) \to 0$ 连续。由（1）知 $g_n$ 一致收敛于 $0$，即 $\lim_{n \to \infty} \max_{x \in [a,b]} |f_n(x)| = \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in [a,b]} |f_n(x)-0| = 0$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \max_{x \in [a,b]} |f_n(x)| = 0$
提示：注意单调递减情形可通过取负转化为单调递增情形。
步骤 7/7
目标：证明第三部分：正项级数的一致收敛性
设 $S_n(x) = \sum_{k=1}^n u_k(x)$，则 $S_n(x)$ 连续且 $S_n(x) \leq S_{n+1}(x)$（因为 $u_{n+1}(x) \geq 0$）。由条件 $S_n(x) \to f(x)$ 点态收敛，且 $f(x)$ 连续。应用（1）的结论，$\{S_n\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f$，即 $\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ 一致收敛。
提示：注意部分和序列的单调性来源于 $u_n(x) \geq 0$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。