中册 6.2 函数列一致收敛性 第39题
📝 题目
39．证明下列结论．
（1）证明：函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{1}{\mathrm{e}^{\frac{x}{n}}+\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}}, n=1,2, \cdots$ ，在 $[0,1]$ 上一致收敛于 $\displaystyle \frac{1}{1+\mathrm{e}^{x}}$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=1+\ln \frac{2}{1+\mathrm{e}}$ ．
（2）证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} \mathrm{~d} x=1$ ．
（3）证明函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{1}{1+\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}}, n \geqslant 1$ ，在 $[0,+\infty)$ 的任何闭区间 $[a, b]$ 上一致收玫，并求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
先证：函数列 $\displaystyle \left\{\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}\right\}$ 在 $[a, b](a \geqslant 0)$ 上一致收敛于 $\mathrm{e}^{x}$ ．
对任意的 $\displaystyle x \in[a, b],\left\{\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}\right\}$ 单调递增收玫于 $\mathrm{e}^{x}{ }_{2}$ 且均在 $[a, b]$ 上非负连续，由 Dini 定理得 $\displaystyle \left\{\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $\mathrm{e}^{x}$ ．
再证：$\displaystyle \left\{\mathrm{e}^{\frac{x}{n}}\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛．
对任意的 $\displaystyle x \in[0,1], \lim _{n \rightarrow+\infty} \mathrm{e}^{\frac{x}{n}}=1$ ．利用微分中值定理，存在 $\zeta \in[0,1]$ 使得 •
$$
\left|\mathrm{e}^{\frac{x}{n}}-1\right|=\left|\mathrm{e}^{\frac{x}{n}}-\mathrm{e}^{0}\right|=\mathrm{e}^{\zeta} \frac{x}{n} \leqslant \frac{\mathrm{e}}{n}, x \in[0,1]
$$
因而，$\displaystyle \left\{\mathrm{e}^{\frac{x}{n}}\right\}$ 在 $[0,1]$ 上：一致收敛于 1 ．
（1）由于 $\displaystyle \left\{\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}\right\}$ 在 $[0,1]$ 上：一致收敛于 $\displaystyle \mathrm{e}^{x},\left\{\mathrm{e}^{\frac{x}{n}}\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛 1，所以 $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{x}{n}}+\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}, n=1,2, \cdots$ ，在 $[0,1]$ 上一致收玫于 $\mathrm{e}^{x}+1$ ，从而函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{1}{\mathrm{e}^{\frac{x}{n}}+\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}}, n=1,2, \cdots$ ，在 $[0,1]$ 上一致收敛于 $\displaystyle \frac{1}{1+\mathrm{e}^{x}}$ ．
又对每个 $n, f_{n}(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，所以
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{1+\mathrm{e}^{x}}=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{de}^{x}}{\mathrm{e}^{x}\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)}=1+\ln 2-\ln (1+\mathrm{e})
$$
（2）由于 $\displaystyle \left\{\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛于 $\mathrm{e}^{x}$ ，对每个 $\displaystyle n,\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $\mathrm{e}^{-x}$ 在 $[0,1]$上连续，所以 $\displaystyle \left\{\mathrm{e}^{-x}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛．于是
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1} \lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{-x}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x=1
$$
（3）由于 $\displaystyle \left\{\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}\right\}$ 在区间 $[a, b]$ 上一致收敛，$\displaystyle \left\{1+\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}\right\}$ 在区间 $[a, b]$ 上一致收敛，从而 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{1}{1+\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}}, n=1,2, \cdots$ ，在区间 $[a, b]$ 上一致收敛．又对每个 $n, f_{n}(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，所以
$$
\lim _{x \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \frac{1}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x=-\left.\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)\right|_{0} ^{1}=\ln 2-\ln (1+\mathrm{e})+1
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明(1+x/n)^n在[0,1]上一致收敛于e^x
对任意$x\in[0,1]$，数列$\left\{\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\right\}$单调递增收敛于$e^x$，且各项在$[0,1]$上连续非负。由Dini定理，该函数列在$[0,1]$上一致收敛于$e^x$。
公式：Dini定理：单调连续函数列收敛于连续函数则一致收敛
提示：注意Dini定理的条件：单调性、连续性、极限函数连续。
步骤 2/7
目标：证明e^{x/n}在[0,1]上一致收敛于1
对任意$x\in[0,1]$，由微分中值定理，存在$\xi\in[0,1]$使得$|e^{x/n}-1|=e^{\xi}\frac{x}{n}\leq \frac{e}{n}$，与$x$无关，因此一致收敛于1。
公式：微分中值定理：$|e^{x/n}-1|\leq \frac{e}{n}$
提示：注意上界与$x$无关，这是证明一致收敛的关键。
步骤 3/7
目标：证明f_n(x)在[0,1]上一致收敛于1/(1+e^x)
由于分母$e^{x/n}+(1+x/n)^n$一致收敛于$1+e^x$，且分母在$[0,1]$上恒正（$\geq 1$），故$f_n(x)=1/(e^{x/n}+(1+x/n)^n)$一致收敛于$1/(1+e^x)$。
公式：若$g_n\rightrightarrows g$且$g\neq0$，则$1/g_n\rightrightarrows 1/g$
提示：需验证分母一致收敛且极限函数不为零。
步骤 4/7
目标：计算极限积分（1）
由一致收敛性，极限与积分可交换：$\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n(x)dx = \int_0^1 \frac{dx}{1+e^x}$。计算积分：令$t=e^x$，则$dx=dt/t$，积分变为$\int_1^e \frac{dt}{t(1+t)} = \int_1^e \left(\frac{1}{t}-\frac{1}{1+t}\right)dt = \left[\ln t - \ln(1+t)\right]_1^e = 1+\ln 2 - \ln(1+e)$。
公式：$\int \frac{dx}{1+e^x} = x - \ln(1+e^x)+C$
提示：注意积分限变换和绝对值处理。
步骤 5/7
目标：证明（2）的极限为1
由于$(1+x/n)^n$在$[0,1]$上一致收敛于$e^x$，乘以连续函数$e^{-x}$后仍一致收敛于$e^{-x}\cdot e^x=1$，因此$\lim_{n\to\infty}\int_0^1 e^{-x}(1+x/n)^n dx = \int_0^1 1 dx = 1$。
公式：一致收敛函数列乘以连续函数仍一致收敛
提示：注意$e^{-x}$在$[0,1]$上连续有界。
步骤 6/7
目标：证明（3）中f_n(x)在任意闭区间[a,b]上一致收敛
由Dini定理，$(1+x/n)^n$在$[a,b]$（$a\geq0$）上一致收敛于$e^x$，故分母$1+(1+x/n)^n$一致收敛于$1+e^x$，且$1+e^x>0$，因此$f_n(x)=1/(1+(1+x/n)^n)$一致收敛于$1/(1+e^x)$。
公式：同（1）的推理
提示：注意区间$[a,b]$需包含于$[0,+\infty)$。
步骤 7/7
目标：计算（3）中的极限积分
由一致收敛性，$\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n(x)dx = \int_0^1 \frac{dx}{1+e^x}$，与（1）中积分相同，结果为$1+\ln 2 - \ln(1+e)$。
公式：同（1）的积分结果
提示：注意与（1）的结果一致。
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