中册 6.2 函数列一致收敛性 第40题
📝 题目
40．证明下列结论．
（1）设 $f_{0}(x)=x, f_{n}(x)=\arctan \left(f_{n-1}(x)\right), n=1,2, \cdots$ ，求证函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛．（中北大学 2005（B））
（2）$\displaystyle S_{n}(x)=n \ln \left(1+\frac{x}{n}\right), n=1,2, \cdots$ ，（1）$x \in[0, a], a>0$ ；（2）$x \in[0,+\infty)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由于 $g(x)=\arctan x$ 单调增加且有界， $\displaystyle \arctan x
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析函数列性质
对于（1），注意到 $f_0(x)=x$，且 $f_n(x)=\arctan(f_{n-1}(x))$。由于 $\arctan x < x$ 对 $x>0$ 成立，且 $\arctan x$ 单调递增，故对任意 $x>0$，$f_n(x)$ 非负且单调递减。
公式：$\arctan x < x$ 对 $x>0$
提示：注意 $\arctan x$ 的值域为 $(-\pi/2, \pi/2)$，但这里 $x>0$，所以 $f_n(x)>0$。
步骤 2/6
目标：求极限函数
由单调有界原理，对每个 $x>0$，极限 $\lim_{n\to\infty} f_n(x)$ 存在，记为 $L(x)$。在递推式 $f_n(x)=\arctan(f_{n-1}(x))$ 两边取极限得 $L(x)=\arctan(L(x))$，解得 $L(x)=0$。故极限函数为 $f(x)=0$。
公式：$L=\arctan L \Rightarrow L=0$
提示：注意 $\arctan L = L$ 只有 $L=0$ 一个解。
步骤 3/6
目标：应用狄尼定理证明一致收敛
函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续（因为 $\arctan$ 连续），且对每个 $x$ 单调递减趋于 $0$。但 $(0,+\infty)$ 不是闭区间，不能直接使用狄尼定理。然而，可以证明在任意闭区间 $[a,b]\subset(0,+\infty)$ 上一致收敛，再通过适当延拓得到整体一致收敛。实际上，由于 $f_n(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减且极限函数连续，可证一致收敛。
公式：狄尼定理：若连续函数列单调收敛于连续函数，则在紧集上一致收敛。
提示：注意 $(0,+\infty)$ 不是紧集，但可通过单调性证明一致收敛。
步骤 4/6
目标：求第二问极限函数
对于（2），$S_n(x)=n\ln(1+\frac{x}{n})$。利用重要极限 $\lim_{n\to\infty}(1+\frac{x}{n})^n=e^x$，得 $\lim_{n\to\infty} S_n(x)=\lim_{n\to\infty}\ln\left[(1+\frac{x}{n})^n\right]=\ln e^x=x$。故极限函数 $S(x)=x$。
公式：$\lim_{n\to\infty}(1+\frac{x}{n})^n=e^x$
提示：注意 $\ln$ 的连续性，极限可交换。
步骤 5/6
目标：证明在闭区间上一致收敛
在 $[0,a]$ 上，$S_n(x)$ 连续，且对每个 $x$，$S_n(x)$ 单调递增（因为 $\ln(1+\frac{x}{n})$ 关于 $n$ 递增？需验证：固定 $x$，考虑函数 $g(t)=t\ln(1+\frac{x}{t})$，求导得 $g'(t)=\ln(1+\frac{x}{t})-\frac{x}{t+x}$，可证 $g'(t)>0$，故 $S_n(x)$ 关于 $n$ 递增）。极限函数 $S(x)=x$ 连续，由狄尼定理，$\{S_n(x)\}$ 在 $[0,a]$ 上一致收敛。
公式：狄尼定理
提示：需验证单调性，否则不能直接用狄尼定理。
步骤 6/6
目标：证明在 $[0,+\infty)$ 上非一致收敛
考虑 $x=n$ 处：$|S_n(n)-S(n)|=|n\ln(1+1)-n|=n|\ln2-1|$。由于 $\ln2<1$，故 $|\ln2-1|=1-\ln2>0$，所以 $\sup_{x\in[0,+\infty)}|S_n(x)-S(x)|\ge n(1-\ln2)\to+\infty$，因此不一致收敛。
公式：$\sup$ 范数趋于无穷
提示：选择 $x=n$ 是常见技巧，因为此时 $\frac{x}{n}=1$ 固定。
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