中册 6.2 函数列一致收敛性 第45题
📝 题目
45．设函数列 $\left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 满足：
（1）$\left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 是 $[-1,1]$ 上的可积函数列，且在 $[-1,1]$ 上一致有界；
（2）任意 $c \in(0,1),\left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $[-1,-c]$ 和 $[c, 1]$ 上一致收敛于零，
💡 答案解析
证明：对任意 $[-1,1]$ 上的连续函数 $f(x)$ 有 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1}(f(x)-f(0)) \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=0$ ．（中山大学 2006）
提示：用上题类似的方法可证。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确要证明的极限形式
要证明：对任意 $[-1,1]$ 上的连续函数 $f(x)$，有
$$\lim_{n\to\infty}\int_{-1}^1 (f(x)-f(0))\varphi_n(x)\,dx=0.$$
由于 $\varphi_n$ 一致有界，且 $f$ 连续，$f(x)-f(0)$ 在 $x=0$ 处为0，因此主要考虑 $x$ 接近0的部分。
提示：注意被积函数是 $f(x)-f(0)$ 乘以 $\varphi_n$，而不是 $f(x)\varphi_n$。
步骤 2/7
目标：利用连续性估计 $f(x)-f(0)$
因为 $f$ 在 $[-1,1]$ 上连续，所以 $f$ 在 $x=0$ 处连续。对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $|x|<\delta$ 时，$|f(x)-f(0)|<\varepsilon$。
提示：连续性定义：$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0$ 使得 $|x-0|<\delta$ 时 $|f(x)-f(0)|<\varepsilon$。
步骤 3/7
目标：将积分区间分为三部分
将积分区间 $[-1,1]$ 分为三部分：$[-1,-\delta]$，$[-\delta,\delta]$，$[\delta,1]$。则
$$\int_{-1}^1 (f(x)-f(0))\varphi_n(x)\,dx = \int_{-1}^{-\delta} + \int_{-\delta}^{\delta} + \int_{\delta}^1.$$
我们需要证明当 $n\to\infty$ 时，每个积分都趋于0。
提示：注意 $\delta$ 的选取依赖于 $\varepsilon$，但 $\delta$ 固定后，$n$ 趋于无穷。
步骤 4/7
目标：处理中间区间 $[-\delta,\delta]$
在 $[-\delta,\delta]$ 上，$|f(x)-f(0)|<\varepsilon$，且 $\varphi_n$ 一致有界，即存在 $M>0$ 使得 $|\varphi_n(x)|\leq M$ 对所有 $n$ 和 $x\in[-1,1]$ 成立。因此
$$\left|\int_{-\delta}^{\delta} (f(x)-f(0))\varphi_n(x)\,dx\right| \leq \int_{-\delta}^{\delta} |f(x)-f(0)|\cdot|\varphi_n(x)|\,dx \leq \varepsilon \cdot 2\delta \cdot M.$$
由于 $\varepsilon$ 可任意小，该部分可任意小。
公式：一致有界：$|\varphi_n(x)|\leq M$
提示：注意 $\delta$ 依赖于 $\varepsilon$，但 $\varepsilon$ 可任意小，所以这部分可以控制。
步骤 5/7
目标：处理两端区间 $[-1,-\delta]$ 和 $[\delta,1]$
在 $[-1,-\delta]$ 和 $[\delta,1]$ 上，$\varphi_n$ 一致收敛于0。即对任意 $\varepsilon'>0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，对所有 $x\in[-1,-\delta]\cup[\delta,1]$ 有 $|\varphi_n(x)|<\varepsilon'$。
另外，$f$ 在 $[-1,1]$ 上连续，所以有界，设 $|f(x)|\leq K$，则 $|f(x)-f(0)|\leq 2K$。
因此
$$\left|\int_{-1}^{-\delta} (f(x)-f(0))\varphi_n(x)\,dx\right| \leq \int_{-1}^{-\delta} 2K \cdot \varepsilon'\,dx = 2K\varepsilon'(1-\delta).$$
类似地，$[\delta,1]$ 上的积分也满足相同估计。
公式：一致收敛：$\forall\varepsilon'>0,\exists N,\forall n>N,\forall x\in[-1,-\delta]\cup[\delta,1], |\varphi_n(x)|<\varepsilon'$
提示：注意 $\varepsilon'$ 是独立于 $\varepsilon$ 的，但最终要统一控制。
步骤 6/7
目标：综合估计并取极限
对任意 $\varepsilon>0$，先取 $\delta$ 使得 $2\delta M \varepsilon < \varepsilon/2$（实际上 $\varepsilon$ 是任意的，这里需要调整）。更严谨地：
给定 $\eta>0$，取 $\delta$ 使得 $2\delta M < \eta/(2\varepsilon)$？实际上标准做法：
先取 $\delta$ 使得 $2\delta M < 1$，然后取 $\varepsilon$ 为 $\eta/(2\delta M)$？但 $\varepsilon$ 是连续性给出的，不能随意选。
正确步骤：对任意 $\eta>0$，由连续性，存在 $\delta>0$ 使得当 $|x|<\delta$ 时 $|f(x)-f(0)|<\frac{\eta}{2M(2\delta+2)}$？这样复杂。
更简单：先固定 $\delta$，则中间部分积分 $\leq 2\delta M \varepsilon$。取 $\varepsilon = \frac{\eta}{2\delta M}$，则中间部分 $<\eta/2$。然后对于两端，由一致收敛，存在 $N$ 使得当 $n>N$ 时，两端积分 $\leq 2K\varepsilon'(1-\delta) \times 2$（两个区间），取 $\varepsilon' = \frac{\eta}{4K(1-\delta)}$，则两端部分 $<\eta/2$。因此总积分 $<\eta$。
注意：这里 $\varepsilon$ 和 $\varepsilon'$ 的选取依赖于 $\delta$，而 $\delta$ 由 $\varepsilon$ 决定，但 $\varepsilon$ 是任意的，所以可以这样选。
提示：注意 $\varepsilon$ 和 $\varepsilon'$ 的选取顺序：先由 $\eta$ 确定 $\delta$，再由 $\delta$ 确定 $\varepsilon$ 和 $\varepsilon'$。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，对任意 $\eta>0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，有
$$\left|\int_{-1}^1 (f(x)-f(0))\varphi_n(x)\,dx\right| < \eta.$$
即极限为0。
提示：注意极限是 $n\to\infty$，$f$ 固定。
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