中册 6.2 函数列一致收敛性 第46题
📝 题目
46．设 $\varphi_{n}(x)=\left\{\begin{array}{l}(1-x)^{n}, 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ \mathrm{e}^{n x},-1 \leqslant x \leqslant 0,\end{array} f(x)\right.$ 在 $[-1,1]$ 上可积．
（1）求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \varphi_{n}(x)$ ，并讨论 $\left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $[-1,1]$ 上的一致收敛性；
（2）又若 $f(x)$ 在 $x=0$ 还是连续的，求证 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2} \int_{-1}^{1} f(x) \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=f(0)$ ；
（3）求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} f(x) \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x$（要说明理由）．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）当 $x=0$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} \varphi_{n}(x)=1$ ；当 $x \in[-1,1], x \neq 0$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} \varphi_{n}(x)=0$ 。故极限函数
$$
\varphi(x)=\left\{\begin{array}{l}
0, x=0 \\
1, x \neq 0
\end{array} \quad x \in[-1,1]\right.
$$
由于极限函数在 $[-1,1]$ 上不连续，所以 $\left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $[-1,1]$ 上不一致收敛．但 $\left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $[-1, \delta] \cup[\delta, 1]$ 上一致收敛于 0 ，且一致有界：$\left|\varphi_{n}(x)\right| \leqslant 1$ ．
（2）因
$$
\int_{-1}^{1} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{-1}^{0} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x+\int_{0}^{1} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{-1}^{0} \mathrm{e}^{n x} \mathrm{~d} x+\int_{0}^{1}(1-x)^{n} \mathrm{~d} x=\frac{1}{n}\left(1-\mathrm{e}^{-n}\right)+\frac{1}{n+1},
$$
故 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2} \int_{-1}^{1} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=1$ ．
由 44 题可得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2} \int_{-1}^{1} f(x) \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=f(0)$ ．
（3）由（2）得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} f(x) \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2}{n} f(0)=0$ ．
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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