中册 6.2 函数列一致收敛性 第47题
📝 题目
47．设 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 是 $[0,1]$ 上的非负可积函数序列，$k=\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x$ 存在。若 $\forall \alpha \in(0,1]$ 有 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{\alpha}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：对任意一个 $[0,1]$ 上的连续函数 $g(x)$ ，都有 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) g(x) \mathrm{d} x=k g(0)$ ． （中南大学 2005，东华大学 1999（ $k=1$ ））
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=k$ 有 $\lim _{n \rightarrow x} \int_{0}^{1} g(0) f_{n}(x) \mathrm{d} x=k g(0)$ 。问题转证 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x)(g(x)-g(0)) \mathrm{d} x=0$ ．
证明如下：
对任意 $\delta>0$ ，
$$
\int_{0}^{1} f_{n}(x)(g(x)-g(0)) \mathrm{d} x=\int_{0}^{\delta} f_{n}(x)(g(x)-g(0)) \mathrm{d} x+\int_{\delta}^{1} f_{n}(x)(g(x)-g(0)) \mathrm{d} x \triangleq I_{1}+I_{2}
$$
由 $g(x)$ 在 $x=0$ 处连续，$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0(0<\delta<1)$ ，当 $00$ ，当 $n \geqslant N_{1}$ 时，$\left|\int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant k+1$ ．于是当 $n \geqslant N_{1}$ 时，$\displaystyle \left|I_{1}\right| \leqslant \frac{\varepsilon}{2}$ ．
将 $\delta>0$ 固定，由 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{\delta}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=0$ ，对上述 $\varepsilon>0, \exists N_{2}>0$ ，当 $n \geqslant N_{2}$ 时有 $\displaystyle \int_{\delta}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{\varepsilon}{4 M}$ ．于是
$$
\left|I_{2}\right| \leqslant\left|\int_{\delta}^{1} f_{n}(x)(g(x)-g(0)) \mathrm{d} x\right| \leqslant 2 M\left|\int_{\delta}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant 2 M \frac{\varepsilon}{4 M}=\frac{\varepsilon}{2} \text {. 其中 } M \doteq \max _{[0,1]}|g(x)| \text {. }
$$
取 $N=\max \left\{N_{1}, N_{2}\right\}$ ，则当 $n>N$ 时有 $\displaystyle \left|\int_{0}^{1} f_{n}(x)(g(x)-g(0)) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$ ，即
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x)(g(x)-g(0)) \mathrm{d} x=0
$$
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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