中册 6.2 函数列一致收敛性 第48题
📝 题目
48．设 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 是定义在 $(a, b]$ 上的连续函数列，$f_{n}(x) \geqslant 0, \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x=1$ 在 $(a, b]$ 上广义可积，对任意 $\delta>0, \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a+\delta}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x=0$ ．若 $g(x)$ 是 $[a, b]$ 上的连续函数，求证： $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) g(x) \mathrm{d} x=g(a)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
对任意 $\delta>0$ ，
$$
\int_{a}^{b} f_{n}(x)(g(x)-g(a)) \mathrm{d} x=\int_{a}^{a+\delta} f_{n}(x)(g(x)-g(a)) \mathrm{d} x+\int_{a+\delta}^{b} f_{n}(x)(g(x)-g(a)) \mathrm{d} x \stackrel{\Delta}{=} I_{1}+I_{2}
$$
由 $g(x)$ 在 $x=a$ 处连续，$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0,(0<\delta0$ ，当 $n>N_{2}$ 时有 $\displaystyle 0 \leqslant \int_{a+\delta}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{\varepsilon}{4 M}$ ．于是
$$
\left|I_{2}\right|=\int_{a+\delta}^{b}(|g(x)|+|g(a)|) f_{n}(x) \mathrm{d} x \leqslant 2 M \int_{a+\delta}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x<\frac{1}{2} \varepsilon
$$
取 $N=\max \left\{N_{1}, N_{2}\right\}$ ，则当 $n>N$ 时有 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f_{n}(x)(g(x)-g(a)) \mathrm{d} x\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$ 。所以
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) g(x) \mathrm{d} x=g(a)
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入差值并拆分积分
考虑积分 $\int_a^b f_n(x)(g(x)-g(a))dx$，将其拆分为两部分：
$$\int_a^b f_n(x)(g(x)-g(a))dx = \int_a^{a+\delta} f_n(x)(g(x)-g(a))dx + \int_{a+\delta}^b f_n(x)(g(x)-g(a))dx \triangleq I_1 + I_2$$
提示：注意拆分点 $a+\delta$ 的选取，$\delta$ 是待定的小正数。
步骤 2/6
目标：估计 $I_1$ 的绝对值
由 $g(x)$ 在 $x=a$ 处连续，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $a
公式：连续性定义
提示：注意 $\int_a^b f_n(x)dx=1$ 的使用。
步骤 3/6
目标：估计 $I_2$ 的绝对值
设 $M=\max_{[a,b]}|g(x)|$，则 $|g(x)-g(a)| \leq |g(x)|+|g(a)| \leq 2M$。于是
$$|I_2| \leq \int_{a+\delta}^b (|g(x)|+|g(a)|) f_n(x) dx \leq 2M \int_{a+\delta}^b f_n(x) dx$$
提示：注意 $g(x)$ 在闭区间上连续，故有界。
步骤 4/6
目标：利用已知极限控制 $I_2$
由已知条件 $\lim_{n\to\infty} \int_{a+\delta}^b f_n(x)dx = 0$，存在 $N_2$，当 $n>N_2$ 时 $\int_{a+\delta}^b f_n(x)dx < \frac{\varepsilon}{4M}$。从而
$$|I_2| < 2M \cdot \frac{\varepsilon}{4M} = \frac{\varepsilon}{2}$$
提示：注意 $M$ 可能为零，但此时 $\frac{\varepsilon}{4M}$ 无定义，需单独处理。若 $M=0$，则 $g\equiv0$，结论显然成立。
步骤 5/6
目标：合并估计并取极限
取 $N = \max\{N_1, N_2\}$，当 $n>N$ 时，有
$$\left|\int_a^b f_n(x)(g(x)-g(a))dx\right| \leq |I_1| + |I_2| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$
因此
$$\lim_{n\to\infty} \int_a^b f_n(x)(g(x)-g(a))dx = 0$$
提示：注意 $N_1$ 可任意取，因为 $I_1$ 的估计与 $n$ 无关。
步骤 6/6
目标：得到最终结论
由上式可得
$$\lim_{n\to\infty} \int_a^b f_n(x)g(x)dx = \lim_{n\to\infty} \int_a^b f_n(x)g(a)dx = g(a) \lim_{n\to\infty} \int_a^b f_n(x)dx = g(a)$$
提示：注意 $g(a)$ 是常数，可提出积分号外。
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