中册 6.2 函数列一致收敛性 第50题
📝 题目
50．设 $h(x), f_{n}^{\prime}(x), n=1,2, \cdots$ ，在 $[a, b]$ 上连续．又对 $[a, b]$ 中任意的 $x_{1}, x_{2}$ 和正整数 $n$ 有
$$
\left|f_{n}\left(x_{1}\right)-f_{n}\left(x_{2}\right)\right| \leqslant \frac{M}{n}\left|x_{1}-x_{2}\right| \text {, 其中 } M>0 \text { 为常数. }
$$
求证： $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} h(x) f_{n}^{\prime}(x) \mathrm{d} x=0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
因 $f_{n}^{\prime}(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，所以 $f_{n}^{\prime}(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致连续．于是 $\forall n>0, \exists \delta>0, \forall x_{1}, x_{2} \in[a, b]$ ，当 $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta$ 时有 $\displaystyle \left|f_{n}^{\prime}\left(x_{1}\right)-f_{n}^{\prime}\left(x_{2}\right)\right|<\frac{1}{n}$ ．
取 $m$ 充分大，使得 $\displaystyle \frac{b-a}{m}<\delta$ ，将 $[a, b] m$ 等分：$a=x_{0}
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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