中册 6.2 函数列一致收敛性 第51题
📝 题目
51．设 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数，且在 $[0,1]$ 上一致收敛于 $f(x)$ ，求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1-\frac{1}{n}} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由已知条件得 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，并且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{0
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用一致收敛性得出f(x)连续且fn一致收敛到f
由题意，$\{f_n(x)\}$ 在 $[0,1]$ 上连续且一致收敛于 $f(x)$，则极限函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{0\le x\le 1}|f_n(x)-f(x)|=0$。
提示：一致收敛保证极限函数连续，且上确界趋于0。
步骤 2/6
目标：将积分差拆分为两部分
考虑差值：$\left|\int_{0}^{1-\frac{1}{n}} f_n(x) \mathrm{d}x - \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d}x\right| = \left|\int_{0}^{1-\frac{1}{n}} (f_n(x)-f(x)) \mathrm{d}x - \int_{1-\frac{1}{n}}^{1} f(x) \mathrm{d}x\right| \le \int_{0}^{1-\frac{1}{n}} |f_n(x)-f(x)| \mathrm{d}x + \int_{1-\frac{1}{n}}^{1} |f(x)| \mathrm{d}x$。
公式：三角不等式：$|A-B|\le |A|+|B|$
提示：注意积分区间拆分时符号处理，绝对值不等式使用。
步骤 3/6
目标：放大第一个积分到整个区间
由于积分区间 $[0,1-\frac{1}{n}] \subset [0,1]$，且被积函数非负，有 $\int_{0}^{1-\frac{1}{n}} |f_n(x)-f(x)| \mathrm{d}x \le \int_{0}^{1} |f_n(x)-f(x)| \mathrm{d}x$。
公式：积分单调性：若 $0\le g(x)\le h(x)$，则 $\int g \le \int h$
提示：放大时注意被积函数非负，否则不能直接放大。
步骤 4/6
目标：估计第二个积分
由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，故有界，设 $M = \max\limits_{0\le x\le 1}|f(x)|$，则 $\int_{1-\frac{1}{n}}^{1} |f(x)| \mathrm{d}x \le M \cdot \frac{1}{n}$。
公式：积分估值：$\int_a^b |f| \le \max|f| \cdot (b-a)$
提示：注意区间长度为 $1/n$，且 $M$ 有限。
步骤 5/6
目标：用一致收敛性估计第一个积分
由一致收敛，$\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{0\le x\le 1}|f_n(x)-f(x)|=0$，记 $\varepsilon_n = \sup\limits_{0\le x\le 1}|f_n(x)-f(x)|$，则 $\int_{0}^{1} |f_n(x)-f(x)| \mathrm{d}x \le \varepsilon_n \cdot 1 = \varepsilon_n$。
公式：一致收敛定义：$\sup|f_n-f|\to 0$
提示：注意上确界乘以区间长度得到积分上界。
步骤 6/6
目标：综合估计并取极限
于是 $\left|\int_{0}^{1-\frac{1}{n}} f_n(x) \mathrm{d}x - \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d}x\right| \le \varepsilon_n + \frac{M}{n}$。由于 $\varepsilon_n \to 0$ 且 $\frac{M}{n}\to 0$，由夹逼定理得 $\lim\limits_{n\to\infty} \int_{0}^{1-\frac{1}{n}} f_n(x) \mathrm{d}x = \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d}x$。
公式：夹逼定理
提示：注意 $\varepsilon_n$ 和 $M/n$ 都趋于0，极限存在。
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