中册 6.2 函数列一致收敛性 第52题
📝 题目
52．设 $f_{n}(x), n=1,2, \cdots$ ，在 $[a,+\infty)$ 上连续，且反常积分 $\int_{a}^{+\infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x$ 关于 $n$ 一致收敛。又对任意 $M>a,\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, M]$ 上一致收敛于 $f(x)$ ．证明：（1）反 常积 分 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收 敛； （2） $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{+\infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 。武汉大学 1995）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由已知条件知 $f(x) \in C[a,+\infty)$ ，从而对 $\forall M>a$ ，在 $[a, M]$ 上 $f(x)$ 可积．
由 $\int_{a}^{+\infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x$ 关于 $n$ 一致收敛，则对 $\forall \varepsilon>0$ 存在 $A>0$ ，使得当 $A^{n}>A^{\prime}>A$ 时，对一切 $n$ 有 $\displaystyle \left|\int_{A^{*}}^{A^{*}} f_{n}(x) \mathrm{d} x\right|<\frac{\varepsilon}{2}$ ．
又由 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, M]$ 上一致收敛于 $f(x)$ ，存在 $N>0$ ，当 $n>N$ 时有 $\displaystyle \int_{A^{*}}^{A^{*}}\left|f(x)-f_{N}(x)\right| \mathrm{d} x<\frac{\varepsilon}{2}$ ．从而
$$
\left|\int_{A^{*}}^{A^{*}} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \int_{A^{*}}^{A^{*}}\left|f(x)-f_{N}(x)\right| \mathrm{d} x+\left|\int_{A^{*}}^{A^{*}} f_{n}(x) \mathrm{d} x\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon .
$$
故 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。
（2）由 $\int_{a}^{+\infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x$ 关于 $n$ 一致收敛及 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，对 $\forall \varepsilon>0$ 存在 $A>a$ 使得
$$
\left|\int_{A}^{+\infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x\right|<\frac{\varepsilon}{3},\left|\int_{A}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x\right|<\frac{\varepsilon}{3} .
$$
又由 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, M]$ 上一致收玫于 $f(x)$ ，故存在 $N>0$ ，使得当 $n>N$ 时有
$$
\int_{a}^{1}\left|f_{n}(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x<\frac{\varepsilon}{3} .
$$
于是当 $n>N$ 时，
$$
\left|\int_{a}^{+\infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x-\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \int_{a}^{A}\left|f_{n}(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x+\left|\int_{A}^{+\infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x\right|+\left|\int_{A}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x\right|<\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon .
$$
故 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{+\infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明f(x)连续且可积
由$\{f_n(x)\}$在$[a,M]$上一致收敛于$f(x)$，且每个$f_n$连续，则$f(x)$在$[a,M]$上连续，从而在$[a,M]$上可积。由于$M>a$任意，故$f(x)$在$[a,+\infty)$上连续，在任何有限区间上可积。
提示：注意连续函数在闭区间上可积，但这里区间是半无限，需说明有限区间上的可积性。
步骤 2/7
目标：利用一致收敛性控制积分差
由$\int_a^{+\infty} f_n(x) dx$关于$n$一致收敛，对$\forall \varepsilon>0$，存在$A>0$，使得当$A',A''>A$时，对一切$n$有$\left|\int_{A'}^{A''} f_n(x) dx\right|<\frac{\varepsilon}{2}$。
公式：一致收敛定义：$\forall \varepsilon>0, \exists A>0, \forall A',A''>A, \forall n, \left|\int_{A'}^{A''} f_n(x) dx\right|<\varepsilon$。
提示：注意一致收敛中的$A$与$n$无关，这是关键。
步骤 3/7
目标：选取合适的n并估计f的积分
取定$A',A''>A$。由$\{f_n\}$在$[a,M]$上一致收敛于$f$，存在$N$，当$n>N$时，$\int_{A'}^{A''} |f(x)-f_n(x)| dx < \frac{\varepsilon}{2}$（因为$[A',A'']\subset[a,M]$，可取$M=A''$）。于是$\left|\int_{A'}^{A''} f(x) dx\right| \leq \int_{A'}^{A''} |f(x)-f_n(x)| dx + \left|\int_{A'}^{A''} f_n(x) dx\right| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$。
公式：三角不等式：$|\int f| \leq \int |f-f_n| + |\int f_n|$。
提示：注意这里需要固定一个$n$，但$n$的选取依赖于$A',A''$，实际上由于一致收敛性，$N$可以取得与$A',A''$无关？这里需要小心：一致收敛性在$[a,M]$上，而$M$依赖于$A''$，但$A''$可以任意大，因此$N$可能依赖于$A''$。但我们可以先取$A$，然后对固定的$A',A''$，存在$N$，这样没问题，因为$A',A''$是固定的。
步骤 4/7
目标：证明反常积分收敛
由Cauchy收敛准则，对$\forall \varepsilon>0$，存在$A>0$，使得当$A',A''>A$时，$\left|\int_{A'}^{A''} f(x) dx\right|<\varepsilon$，故$\int_a^{+\infty} f(x) dx$收敛。
公式：反常积分Cauchy收敛准则：$\int_a^{+\infty} g(x) dx$收敛当且仅当$\forall \varepsilon>0, \exists A>0, \forall A',A''>A, |\int_{A'}^{A''} g(x) dx|<\varepsilon$。
提示：注意这里$A$的选取依赖于$\varepsilon$，但由步骤2和3已得到。
步骤 5/7
目标：估计无穷远部分的积分差
由$\int_a^{+\infty} f_n(x) dx$关于$n$一致收敛及$\int_a^{+\infty} f(x) dx$收敛，对$\forall \varepsilon>0$，存在$A>a$，使得$\left|\int_A^{+\infty} f_n(x) dx\right|<\frac{\varepsilon}{3}$（对一切$n$）且$\left|\int_A^{+\infty} f(x) dx\right|<\frac{\varepsilon}{3}$。
公式：一致收敛和收敛的定义。
提示：注意这里$A$要同时满足两个条件，由于一致收敛性，存在$A_1$，由收敛性存在$A_2$，取$A=\max(A_1,A_2)$即可。
步骤 6/7
目标：估计有限区间上的积分差
由$\{f_n\}$在$[a,A]$上一致收敛于$f$，存在$N$，当$n>N$时，$\int_a^A |f_n(x)-f(x)| dx < \frac{\varepsilon}{3}$。
公式：一致收敛性保证$\sup_{x\in[a,A]}|f_n(x)-f(x)|\to 0$，从而积分趋于0。
提示：注意这里$A$是固定的，所以一致收敛性适用。
步骤 7/7
目标：合并估计证明极限等式
当$n>N$时，$\left|\int_a^{+\infty} f_n(x) dx - \int_a^{+\infty} f(x) dx\right| \leq \int_a^A |f_n(x)-f(x)| dx + \left|\int_A^{+\infty} f_n(x) dx\right| + \left|\int_A^{+\infty} f(x) dx\right| < \frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon$。因此$\lim_{n\to\infty}\int_a^{+\infty} f_n(x) dx = \int_a^{+\infty} f(x) dx$。
公式：三角不等式。
提示：注意这里需要确保$n$足够大，且$A$的选取与$n$无关。
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