中册 6.2 函数列一致收敛性 第53题
📝 题目
53．设连续函数序列 $\left\{f_{n}(x, y)\right\}$ 在有界闭区域 $D$ 上一致收敛于 $f(x, y)$ ，证明：
$$
\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\lim _{n \rightarrow \infty} \iint_{D} f_{n}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y . \text { }
$$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由于 $\left\{f_{n}(x, y)\right\}$ 在 $D$ 上一致收敛于 $f(x, y)$ ，则对 $\forall \varepsilon>0$ 存在 $N>0$ ，使得当 $n>N$ 时，对一切 $(x, y) \in D$ 有，$\left|f_{n}(x, y)-f(x, y)\right|<\varepsilon$ ．于是
$$
\left|\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y-\iint_{D} f_{n}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right| \leqslant\left|\iint_{D}\right| f(x, y)-f_{n}(x, y)|\mathrm{d} x \mathrm{~d} y|<\varepsilon \iint_{D} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\varepsilon S_{D},
$$
其中 $S_{D}$ 为有界闭区域 $D$ 的面积．故 $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\lim _{n \rightarrow x} \iint_{D} f_{n}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用一致收敛定义
由于函数序列 $\{f_n(x,y)\}$ 在有界闭区域 $D$ 上一致收敛于 $f(x,y)$，根据一致收敛的定义，对任意给定的 $\varepsilon>0$，存在正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，对一切 $(x,y)\in D$，有 $|f_n(x,y)-f(x,y)|<\varepsilon$。
公式：$\forall \varepsilon>0, \exists N\in\mathbb{N}, \forall n>N, \forall (x,y)\in D: |f_n(x,y)-f(x,y)|<\varepsilon$
提示：注意一致收敛中 $N$ 只依赖于 $\varepsilon$，而不依赖于 $(x,y)$。
步骤 2/6
目标：估计积分差的绝对值
考虑 $\iint_D f(x,y) dxdy$ 与 $\iint_D f_n(x,y) dxdy$ 之差的绝对值：
$$
\left|\iint_D f(x,y) dxdy - \iint_D f_n(x,y) dxdy\right| = \left|\iint_D (f(x,y)-f_n(x,y)) dxdy\right|.
$$
提示：利用积分的线性性质将差写成单个积分。
步骤 3/6
目标：应用绝对值不等式
由积分的绝对值不等式，有
$$
\left|\iint_D (f(x,y)-f_n(x,y)) dxdy\right| \le \iint_D |f(x,y)-f_n(x,y)| dxdy.
$$
公式：$\left|\iint_D g\,dxdy\right| \le \iint_D |g|\,dxdy$
提示：注意积分区域 $D$ 是有界闭区域，面积有限。
步骤 4/6
目标：利用一致收敛放缩被积函数
当 $n>N$ 时，由一致收敛性，对一切 $(x,y)\in D$ 有 $|f(x,y)-f_n(x,y)|<\varepsilon$，因此
$$
\iint_D |f(x,y)-f_n(x,y)| dxdy < \iint_D \varepsilon\, dxdy = \varepsilon \iint_D dxdy.
$$
提示：注意 $\varepsilon$ 是常数，可以提到积分号外。
步骤 5/6
目标：计算区域面积
记 $S_D = \iint_D dxdy$ 为有界闭区域 $D$ 的面积，由于 $D$ 有界，$S_D$ 是有限正数。于是
$$
\left|\iint_D f(x,y) dxdy - \iint_D f_n(x,y) dxdy\right| < \varepsilon S_D.
$$
公式：$S_D = \iint_D dxdy$
提示：有界闭区域的面积有限，这是关键。
步骤 6/6
目标：由极限定义得出结论
由于 $\varepsilon$ 是任意正数，$\varepsilon S_D$ 可以任意小，因此根据极限的定义，有
$$
\lim_{n\to\infty} \iint_D f_n(x,y) dxdy = \iint_D f(x,y) dxdy.
$$
提示：注意这里 $S_D$ 是常数，$\varepsilon S_D$ 随 $\varepsilon$ 趋于0而趋于0。
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