中册 6.2 函数列一致收敛性 第54题

答：错误。不妨设 $x \in[0,1], u_{n}(x)=x^{n}, \lim _{n \rightarrow \infty}\left|u_{n}(x)-u_{n+p}(x)\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} x^{n}\left(1-x^{p}\right)=0$ ，显然 $\left\{u_{n}(x)\right\}$ 非一致收敛。 （2）设函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在有限区间 $I \subset(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛，且 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|f_{n}(x)\right|$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|f_{n}(x)\right|$ 在 $I$ 上必一致收敛。（厦门大学 2005／2004） 答：错误．$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} x^{n}(1-x)$ ．级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} x^{n}(1-x)$ 在 $[0,1]$ 上绝对并一致收玫，但其绝对值级数 $[0,1]$ 上不一致收敛． （3）设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $(a, b)$ 上一致收敛，则对任意 $x \in(a, b), \sum_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}(x)\right|$ 收敛．（东南大学 2007） 答：错误．$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}$ 在 $(a, b)$ 上一致收敛，但 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n}}{n}\right|$ 在 $(a, b)$ 上不收敛。 （4）若 $\forall n \in \mathbf{N}^{+}, u_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 收玫，和函数在 $[a, b]$ 连续，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 一致收敛．（华东师大 2013） 答：错误．$\sum_{n=1}^{\infty}\left[n x \mathrm{e}^{-n x}-(n+1) x \mathrm{e}^{-(n+1) x}\right]$ 在 $[0,1]$ 收玫于 $f(x)=x \mathrm{e}^{x}$ ，和函数在 $[0,1]$ 连续，但 $\sum_{n=1}^{\infty}\left[n x \mathrm{e}^{-n x}-(n+1) x \mathrm{e}^{-(n+1) x}\right]$ 在 $[0,1]$ 不一致收敛． （5）若 $\forall n \in \mathrm{~N}^{+}, u_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 一致收玫，则函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 可逐项微分．（太原理工 2008） 答：错 误．如 $\displaystyle u_{n}(x)=\frac{\sin n x}{\sqrt{n}}, x \in[\varepsilon, 2 \pi-\varepsilon],(\varepsilon>0), \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $[\varepsilon, \pi]$ 一致 收 敛，但 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n} \cos n x$ 在 $x=\pi$ 发散，故函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 不可以逐项微分． （6）若函数项 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $D$ 上一致收敛于 $S(x)$ ，函数 $g(x)$ 在 $D$ 上有界，则 $\sum_{n=1}^{\infty} g(x) u_{n}(x)$ 在 $D$一致收敛 $g(x) S(x)$ ．（暨南大学 2012） 答：正确．用 $\varepsilon-N$ 定义可证． （7）定义在数集 $D$ 上的函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $D$ 上一致收敛的充分必要条件是存在收敛的正数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} M_{n}$ ，对任意的 $x \in D$ ，使得 $\left|u_{n}(x)\right| \leqslant M_{n}, n=1,2, \cdots$ 。（浙江理工 2013） 答：若存在收玫的正数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} M_{n}$ ，对任意的 $x \in D$ ，使得 $\left|u_{n}(x)\right| \leqslant M_{n}$ ，则函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $D$ 上一致收玫．但反之不一定成立．如 $\displaystyle u_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}}{n}$ ． （8）若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径为 $R>0$ ，且 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} R^{n}$ 收玫，则 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $[0, R]$ 上一致收玫．（东南大学 2008，深圳大学 2013） 答：正确．$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} R^{n}\left(\frac{x}{R}\right)^{n}$ ，由阿贝尔判别法得． （9）若数值级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径大于或等于1．（南昌大学 2010）答：正确．由阿贝尔定理可得．