中册 6.3 函数项级数 第2题

\section*{解题过程：} （1）由于 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty),\left|\frac{n x}{1+n^{5} x^{2}}\right| \leqslant \frac{1}{2 n^{\frac{3}{2}}}$ ，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{3}}}$ 收玫，所以 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x}{1+n^{5} x^{2}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛。 （2）由于 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty),\left|\arctan \frac{2 x}{x^{2}+n^{3}}\right| \leqslant \frac{2|x|}{x^{2}+n^{3}} \leqslant \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$ ，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$ 收玫，所以 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \arctan \frac{2 x}{x^{2}+n^{3}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛。 （3）因 $\displaystyle \forall x \in \mathbf{R},\left|\frac{\sin n x}{\sqrt[3]{n^{4}+x^{4}}}\right| \leqslant \frac{1}{\sqrt[3]{n^{4}}}$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^{4}}}$ 收敛，由 M 判别法，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{\sqrt[3]{n^{4}+x^{4}}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛。 （4）因 $\displaystyle \forall x \in[0,+\infty)\left|\frac{x}{1+n^{4} x^{2}}\right| \leqslant \frac{1}{2 n^{2}}$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 收敛，所以 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{1+n^{4} x^{2}}$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛。 （5）因 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty)\left|(-1)^{n} \frac{\sin n x}{n^{3}}\right| \leqslant \frac{1}{n^{3}}$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}$ 收敛，所以 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\sin n x}{n^{3}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收玫。