中册 6.3 函数项级数 第3题
📝 题目
3．证明下列函数项级数在指定区间上一致收敛．
（1）求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{2|x|}{x^{2}+n^{3}}\right)$ 的收敛域，并证明该级数在收敛域上是一致收敛的．
（2）证明级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+\frac{x}{n \ln ^{2} n}\right)$ 在 $[-a, a]$ 上一致收敛 $\left(0\frac{1}{2}$ 为一个常数，$a_{n} \geqslant 0$ ，且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_{n}} \sin n x}{n^{\alpha}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由不等式 $\ln (1+x) \leqslant x, x \geqslant 0$ ，对 $\forall x \in \mathbf{R}$ ，
$$
\left|\ln \left(1+\frac{2|x|}{x^{2}+n^{3}}\right)\right|=\ln \left(1+\frac{2|x|}{x^{2}+n^{3}}\right) \leqslant \frac{2|x|}{x^{2}+n^{3}}=\frac{2|x| \cdot n^{\frac{3}{2}}}{x^{2}+n^{3}} \cdot \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} \leqslant \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} .
$$
又级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$ 收玫，由 M 判别法得级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{2|x|}{x^{2}+n^{3}}\right)$ 在 $\mathbf{R}$ 上一致收玫。
（2）由于 $\displaystyle \ln \left(1+\frac{x}{n \ln ^{2} n}\right)$ 在 $[-a, a]$ 上单调增加，于是
$$
\ln \left(1-\frac{a}{n \ln ^{2} n}\right) \leqslant \ln \left(1+\frac{x}{n \ln ^{2} n}\right) \leqslant \ln \left(1+\frac{a}{n \ln ^{2} n}\right) .
$$
又 $\displaystyle \ln \left(1 \pm \frac{a}{n \ln ^{2} n}\right) \sim \pm \frac{a}{n \ln ^{2} n}(n \rightarrow \infty)$ ，且级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a}{n \ln ^{2} n}$ 收敛，故 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1 \pm \frac{a}{n \ln ^{2} n}\right)$ 收敛，从而 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+\frac{x}{n \ln ^{2} n}\right)$ 在 $[-a, a]$ 上一致收敛。
（3）由于 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty),\left|\frac{\sqrt{a_{n}} \sin n x}{n^{\alpha}}\right| \leqslant \frac{\sqrt{a_{n}}}{n^{\alpha}} \leqslant \frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{1}{n^{2 \alpha}}\right)$ ，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+\frac{1}{n^{2 \alpha}}\right)$ 收敛，所以 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_{n}} \sin n x}{n^{\alpha}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛。
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析级数通项并放缩
对于第(1)问，注意到 $\ln(1+x) \leq x$ 对 $x \geq 0$ 成立。由于 $\frac{2|x|}{x^2+n^3} \geq 0$，有 $\left|\ln\left(1+\frac{2|x|}{x^2+n^3}\right)\right| = \ln\left(1+\frac{2|x|}{x^2+n^3}\right) \leq \frac{2|x|}{x^2+n^3}$。
公式：$\ln(1+x) \leq x, x \geq 0$
提示：注意绝对值处理：由于通项非负，绝对值等于自身。
步骤 2/8
目标：进一步放缩得到与n有关的界
利用不等式 $\frac{2|x|}{x^2+n^3} \leq \frac{1}{n^{3/2}}$。这是因为 $\frac{2|x|}{x^2+n^3} = \frac{2|x| \cdot n^{3/2}}{x^2+n^3} \cdot \frac{1}{n^{3/2}}$，而 $\frac{2|x| n^{3/2}}{x^2+n^3} \leq 1$（由 $2|x| n^{3/2} \leq x^2 + n^3$ 可得，因为 $x^2 + n^3 \geq 2|x| n^{3/2}$ 由均值不等式）。
公式：$\frac{2|x|}{x^2+n^3} \leq \frac{1}{n^{3/2}}$
提示：注意均值不等式的使用：$x^2 + n^3 \geq 2|x| n^{3/2}$。
步骤 3/8
目标：应用M判别法证明一致收敛
于是 $\left|\ln\left(1+\frac{2|x|}{x^2+n^3}\right)\right| \leq \frac{1}{n^{3/2}}$。而级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$ 收敛（p-级数，p=3/2>1）。由Weierstrass M判别法，原级数在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛，从而收敛域为 $\mathbb{R}$。
公式：Weierstrass M判别法
提示：M判别法要求通项绝对值被一个收敛的正项级数通项控制。
步骤 4/8
目标：分析第(2)问的单调性并放缩
对于第(2)问，$x \in [-a,a]$，函数 $\ln\left(1+\frac{x}{n\ln^2 n}\right)$ 关于 $x$ 单调递增。因此 $\ln\left(1-\frac{a}{n\ln^2 n}\right) \leq \ln\left(1+\frac{x}{n\ln^2 n}\right) \leq \ln\left(1+\frac{a}{n\ln^2 n}\right)$。
公式：单调性
提示：注意 $a$ 的范围保证 $1 \pm \frac{a}{n\ln^2 n} > 0$，因为 $0 < a < 2\ln^2 2$。
步骤 5/8
目标：利用等价无穷小判断收敛性
当 $n \to \infty$ 时，$\ln\left(1 \pm \frac{a}{n\ln^2 n}\right) \sim \pm \frac{a}{n\ln^2 n}$。而级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{a}{n\ln^2 n}$ 收敛（由积分判别法或与 $\int \frac{dx}{x\ln^2 x}$ 比较）。因此 $\sum \ln\left(1 \pm \frac{a}{n\ln^2 n}\right)$ 绝对收敛。
公式：$\ln(1+u) \sim u$ 当 $u \to 0$
提示：注意 $\ln(1+u)$ 与 $u$ 同号，且 $u \to 0$。
步骤 6/8
目标：应用M判别法证明一致收敛
由 $\left|\ln\left(1+\frac{x}{n\ln^2 n}\right)\right| \leq \max\left\{\left|\ln\left(1-\frac{a}{n\ln^2 n}\right)\right|, \ln\left(1+\frac{a}{n\ln^2 n}\right)\right\}$，而这两个界对应的级数收敛，故原级数在 $[-a,a]$ 上一致收敛。
公式：Weierstrass M判别法
提示：注意取绝对值后的最大值作为控制项。
步骤 7/8
目标：分析第(3)问并放缩通项
对于第(3)问，$\forall x \in (-\infty,+\infty)$，$\left|\frac{\sqrt{a_n} \sin nx}{n^\alpha}\right| \leq \frac{\sqrt{a_n}}{n^\alpha}$。利用不等式 $\sqrt{a_n} \leq \frac{1}{2}(a_n + 1)$ 得 $\frac{\sqrt{a_n}}{n^\alpha} \leq \frac{1}{2}\left(a_n + \frac{1}{n^{2\alpha}}\right)$。
公式：$\sqrt{a_n} \leq \frac{1}{2}(a_n + 1)$
提示：注意 $a_n \geq 0$，该不等式由 $a_n + 1 \geq 2\sqrt{a_n}$ 得到。
步骤 8/8
目标：利用已知收敛性证明一致收敛
已知 $\sum a_n$ 收敛，且 $\alpha > 1/2$ 时 $\sum \frac{1}{n^{2\alpha}}$ 收敛（p-级数，p=2α>1）。因此 $\sum \frac{1}{2}\left(a_n + \frac{1}{n^{2\alpha}}\right)$ 收敛。由Weierstrass M判别法，原级数在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛。
公式：Weierstrass M判别法
提示：注意 $\alpha > 1/2$ 保证 $2\alpha > 1$。
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